2019年中考数学总复习 提分专练05 以三角形为背景的中档计算题与证明题练习 湘教版.doc

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提分专练(五)　以三角形为背景的中档计算题与证明题 |类型1|　与特殊三角形相关的计算、证明题 1.如图T5-1,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM. (1)求证:EF=12AC; (2)若∠BAC=45,求线段AM,DM,BC之间的数量关系. 图T5-1 2.[xx连云港] 如图T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F. (1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由; (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 图T5-2 |类型2|　与全等三角形相关的计算、证明题 3.如图T5-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E. (1)求证:△ABD≌△CAE. (2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论. 图T5-3 4.[xx宁波] 如图T5-4,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE. (1)求证:△ACD≌△BCE; (2)当AD=BF时,求∠BEF的度数. 图T5-4 |类型3|　与相似三角形相关的计算、证明题 5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F. (1)求证:△ACD∽△BFD; (2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长. 图T5-5 6.[xx东营] (1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目: 如图T5-6①,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30,∠OAC=75,AO=33,BO∶CO=1∶3,求AB的长. 经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图②). 请回答:∠ADB=　　　　,AB=　　　　. (2)请参考以上解题思路,解决下列问题: 如图③,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=33,∠ABC=∠ACB=75,BO∶OD=1∶3,求DC的长. 图T5-6  参考答案 1.解:(1)证明:连接CE.∵CD=CB,点E为BD的中点, ∴CE⊥BD. ∵点F为AC的中点, ∴EF=12AC. (2)∵∠BAC=45,CE⊥BD, ∴△AEC是等腰直角三角形. ∵点F为AC的中点, ∴EF垂直平分AC,∴AM=CM. ∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB, ∴BC=AM+DM. 2.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下: 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD. (2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上, 即直线AF垂直平分线段BC. 3.解:(1)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠ACD. ∵AE∥BC, ∴∠EAC=∠ACD, ∴∠B=∠EAC. ∵AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC. ∵CE⊥AE, ∴∠ADB=∠AEC=90. 在△ABD和△CAE中, ∵∠B=∠EAC,∠ADB=∠AEC,AB=CA, ∴△ABD≌△CAE(AAS). (2)AB平行且等于DE. 证明:由(1)知△ABD≌△CAE, ∴AE=BD. 又∵AE∥BD, ∴四边形ABDE为平行四边形, ∴AB平行且等于DE. 4.解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE, ∴∠DCE=90,CD=CE. 又∵∠ACB=90, ∴∠ACB=∠DCE, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中,∵CD=CE,∠ACD=∠BCE,AC=BC, ∴△ACD≌△BCE. (2)∵∠ACB=90,AC=BC, ∴∠A=45, ∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45. 又AD=BF, ∴BE=BF, ∴∠BEF=∠BFE=180-452=67.5. 5.解:(1)证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90, ∴∠C+∠DBF=90,∠C+∠DAC=90, ∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD. (2)∵∠ADB=90,tan∠ABD=1, ∴tan∠ABD=ADBD=1,∴AD=BD. ∵△ACD∽△BFD, ∴ACBF=ADBD=1,∴BF=AC=3. 6.[解析] (1)利用两直线平行,内错角相等,可得∠ADB=∠OAC=75和△AOC与△DOB相似,于是得DO=3,再利用三角形内角和定理可求得∠ABD=75,所以AB=AD=43. (2)同理,可过B作AD的平行线,利用相似可求得DC的长. 解:(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75. 又∵∠DOB=∠AOC, ∴△DOB∽△AOC, ∴DOAO=BOCO=13. ∵AO=33,∴DO=3, ∴AD=AO+DO=33+3=43. 在△ABD中,∠BAO=30,∠ADB=75, ∴∠ABD=180-∠BAO-∠ADB=180-30-75=75, ∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD=43. (2)过点B作BE∥AD交AC于点E. ∵AC⊥AD,∴∠DAC=∠BEA=90. 又∵∠AOD=∠EOB, ∴△AOD∽△EOB, ∴BODO=EOAO=BEDA. ∵BO∶OD=1∶3, ∴EOAO=BEDA=13. ∵AO=33,∴EO=3,∴AE=43. ∵∠ABC=∠ACB=75, ∴∠BAC=30,AB=AC,∴AB=2BE. 在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2, 即(43)2+BE2=(2BE)2,得BE=4, ∴AB=AC=8,AD=12. 在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2, 即82+122=CD2,得CD=413.