2019年春八年级数学下册 第9章 中心对称图形-平行四边形 专题训练（三）练习 （新版）苏科版.doc

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专题训练(三)　中点问题常用思路 在解答几何问题时会遇到不少中点问题，解答这类问题通常考虑运用以下四类方法解答： (1)根据等腰三角形“三线合一”解答； (2)根据线段垂直平分线的性质解答； (3)根据直角三角形斜边上中线的性质解答； (4)构造三角形中位线解答． ►　类型一　与等腰三角形有关的中点问题 1．如图3－ZT－1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90，BC＝12，CD＝AC＝16，M，N分别是对角线BD，AC的中点． (1)求证：MN⊥AC； (2)求MN的长． 图3－ZT－1 ►　类型二　与垂直平分线有关的中点问题 2．如图3－ZT－2，在△ABC中，∠BAC＝120，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC. 图3－ZT－2 ►　类型三　与直角三角形斜边上的中线有关的中点问题 3．如图3－ZT－3①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． (1)求证：MN⊥DE. (2)连接DM，ME，求证：∠DME＝180－2∠A. (3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论． 图3－ZT－3 ►　类型四　与三角形中位线有关的中点问题 4．如图3－ZT－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，M，N分别是对角线BD，AC的中点，试探索MN与AD，BC的位置关系与数量关系，并说明理由． 图3－ZT－4 5．xx白银 如图3－ZT－5，已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H分别是BC，BE，CE的中点． (1)求证：△BGF≌△FHC； (2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积． 图3－ZT－5 6．已知M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连接DM. (1)如图3－ZT－6①，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长； (2)如图3－ZT－6②，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长． 图3－ZT－6 7．如图3－ZT－7①，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N. (1)试说明：FG＝(AB＋BC＋AC)； (2)如图②，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由； (3)如图③，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是______________． 图3－ZT－7 详解详析 专题训练(三)　中点问题常用思路 1．解：(1)证明：如图，连接AM，CM， ∵∠BAD＝∠BCD＝90，M是BD的中点， ∴AM＝CM＝BM＝DM＝BD. 又∵N是AC的中点，∴MN⊥AC. (2)∵∠BCD＝90，BC＝12，CD＝16， ∴BD＝＝20， ∴AM＝BD＝20＝10. ∵AC＝16，N是AC的中点， ∴AN＝16＝8，∴MN＝＝6. 2．证明：如图，连接AM，AN. ∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F， ∴BM＝AM，NC＝AN， ∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C. ∵∠BAC＝120，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30， ∴∠MAB＋∠CAN＝60，∠AMN＝∠ANM＝60， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN＝MN， ∴BM＝MN＝NC. 3．解：(1)证明：如图①，连接DM，ME. ∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是BC的中点， ∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME. 又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE. (2)证明：由(1)知DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD＋∠CME ＝(180－2∠ABC)＋(180－2∠ACB) ＝360－2(∠ABC＋∠ACB) ＝360－2(180－∠A) ＝2∠A， ∴∠DME＝180－2∠A. (3)(1)中的结论成立；(2)中的结论不成立． 理由如下：如图②，连接DM，ME.在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180－∠BAC. ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC ＝2(180－∠BAC) ＝360－2∠BAC， ∴∠DME＝180－(360－2∠BAC) ＝2∠BAC－180. 4．解：MN∥AD∥BC，MN＝(BC－AD)． 理由如下：连接AM并延长交BC于点H，如图所示． ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠HBD. 在△AMD和△HMB中， ∴△AMD≌△HMB，∴AM＝MH，AD＝BH. ∵AM＝MH，AN＝NC， ∴MN∥HC，MN＝HC， ∴MN∥BC∥AD，MN＝(BC－AD)． 5．解：(1)证明：∵F，G，H分别是BC，BE，CE的中点， ∴FH∥BE，FH＝BE＝BG， ∴∠CFH＝∠CBG. 又∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC. (2)连接EF，GH.当四边形EGFH是正方形时，可得EF⊥GH且EF＝GH. ∵在△BEC中，G，H分别是BE，CE的中点， ∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC， ∴EF⊥BC. ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴AB＝EF＝GH＝a， ∴矩形ABCD的面积＝ABAD＝aa＝a2. 6．解：(1)如图①，延长BD交AC于点E， ∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD， ∴BD＝DE，AE＝AB＝12， ∴CE＝AC－AE＝18－12＝6. 又∵M为△ABC的边BC的中点， ∴MD是△BCE的中位线， ∴MD＝CE＝6＝3. (2)如图②，延长BD交CA的延长线于点E， ∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD， ∴BD＝DE，AE＝AB＝12， ∴CE＝AC＋AE＝18＋12＝30. 又∵M为△ABC的边BC的中点， ∴MD是△BCE的中位线， ∴MD＝CE＝30＝15. 7．解：(1)∵BD⊥AF， ∴∠AFB＝∠MFB＝90. 在△ABF和△MBF中， ∴△ABF≌△MBF， ∴MB＝AB，AF＝MF. 同理：CN＝AC，AG＝NG， ∴FG是△AMN的中位线， ∴FG＝MN ＝(MB＋BC＋CN) ＝(AB＋BC＋AC)． (2)FG＝(AB＋AC－BC)． 理由：如图①，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠MFB＝90. 在△ABF和△MBF中， ∴△ABF≌△MBF， ∴MB＝AB，AF＝MF. 同理：CN＝AC，AG＝NG， ∴FG＝MN ＝(MB＋CN－BC) ＝(AB＋AC－BC)． (3)FG＝(AC＋BC－AB)． 理由：如图②，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N. ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠MFB＝90. 在△ABF和△MBF中， ∴△ABF≌△MBF， ∴MB＝AB，AF＝MF. 同理：CN＝AC，AG＝NG， ∴FG＝MN ＝(CN＋BC－MB) ＝(AC＋BC－AB)．