七年级数学下册 培优新帮手 专题26 奇偶分析试题 （新版）新人教版.doc

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26 奇偶分析 阅读与思考 整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数≠偶数． 由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析． 运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质： 1.奇数≠偶数. 2.奇数奇数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数. 3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数. 4.若是整数，则与，，（为自然数）有相同的奇偶性. 5.设，是整数，则，，，都有相同的奇偶数. 6.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1. 例题与求解 【例1】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列规律是：前两个数是1，从第三个数开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2 004个数中共有____个偶数． (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律. 【例2】 如果，，都是正整数，且，是奇数，则是( ). A．只当为奇数时，其值为奇数 B．只当为偶数时，其值为奇数 C．只当为3的倍数时，其值为奇数 D．无论为任意正整数时，其值均为奇数 （五城市联赛试题） 解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择． 【例3】 能否找到自然数和，使. （“华罗庚金杯”邀请赛试题） 解题思路：假设存在自然数和，使等式成立，则，从，的奇偶性展开推理． 【例4】 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上1~6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的. （北京市竞赛试题） 解题思路：从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用与=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母进行推理证明. 【例5】 表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A变成B，B变成C…最后字母Z变成A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由. S O B R K B D S T Z E P H E X G H O C N R T B S A D V X C F Y A 表甲 表乙 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性. 【例6】 设，，…为＋1或－1，并且 .证明能被4整除. 解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易． 能力训练 1．若按奇偶分类，则是______数. 2．已知是质数，是奇数，且，则_______. （江苏省竞赛试题） 3．若质数，满足，则的值为____________. （河北省竞赛试题） 4．在12，22，32，…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____________个. （全国初中数学联赛试题） 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有( )种. A.2 B.3 C.4 D.5 6．设，为整数，给出下列四个结论 （1）若是偶数，则是偶数 （2）若是偶数，则是奇数 （3）若是奇数，则是偶数 （4）若是奇数，则是奇数 其中正确结论的个数是 ( )． A.0 B.2 C.4 D.1或3 （“五羊杯”竞赛试题） 7．如果，，是三个任意整数，那么，，( )． A.都不是整数 B.至少有两个是整数 C.至少有一个是整数 D.都是正数 （“T1杯”全国竞赛试题） 8．将1 000到1 997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，奇数的个数至多有( )． A.499个 B.496个 C.996个 D.995个 9．设，，…是1，2，3，…，1999的一个排列，求证：为偶数. 10．在黑板上记上数1，2，3，…，1 974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零． （数学奥林匹克竞赛试题） 11．你能找到三个整数，，，使得关系式成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由. （“希望杯”邀请赛试题） 12．设标有A，B，C，D，E，F，G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在A，C，E，G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1 999次开关后，问哪几盏是开的？ 专题25 图形面积的计算 例1 196 提示：28（28+14）-2828=2814=287=196. 例2 D 提示：设△ABC底边上的高为h，则BCh=24 故h====. 设△ABC底边DE上的高为，△BDE底边DE上的高为，则h=.∴=+=+）===6. 例3 2cm.提示：设△ABE的AE边上的高为hcm，DE长为xcm，则，解得DE=2.例4 提示： , , ,. 例5 ，.设，则， 于是 ①+②，得， ∴，即. 例6 设，因为E,F分别是AB,BC的中点，所以. ∴.如图，连接EF,DF，则.所以. 设，则.由得. ∴ . ∴. 连接AC，又∵AQ∥PC，， ∴. ∴.连接PB，则. 由， 得.∴，从而，.于是. ∴. A级 1. 提示：,. 2. 48. 3. 4. 15.625. 5. B. 6. C. 7. B. 8. C. 9. 35 提示:连接EF，,. 10. 解法一：将△DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE交PK的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a，b.则 = = =16. 解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45, ∴DB∥GE,得，同理GE∥FK，得. ∴. B级 1. （或）. 2. 120 提示：设AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d，c= b，d= a，cd=8. 3. 18.75（≈3）. 4. 8.5 提示：连HD. 5. 48 提示：“生长”n次后得到边形，面积为原面积的倍. 6. B. 7. B 提示：过点K作KH⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45, ∴KH=AE=7. . 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的部分即可. 9. B. 10. ⑴当a＞1时，即B在OA上方时，如图. ，∴，解得a=6. ⑵当0≦a＜1时，即B在OA于x轴之间时，依题意，有，解得a=-4（不合题意，舍去）. ⑶当a＜0时，即B在x轴下方时，有，解得a=-4. 综上所述，当a=-4或a=6时，. 11. . ∵为公共部分, ∴.又因为△AMG与△AMD的高的高相等（以A为顶点作高），△MCG与△MCD的高相等（以C为顶点作高），∴,即，解得：.∴. 连BG，设,，.则 解得 同理可得： 又 S，得 .∴ 故 .