九年级数学上册 期中期末串讲 第82讲 二次函数(二)课后练习 （新版）苏科版.doc

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第82讲 期中期末串讲—二次函数(二) 题一： 已知关于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+1=0． (1)求证：该方程必有两个实数根； (2)若该方程只有整数根，求k的整数值； (3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数y=(k+1)x2+3x+m与x轴有两个不同的交点A和B(A在B左侧)，并且满足OA=2OB，求m的非负整数值． 题二： 已知：关于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在(1)的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=mx2－(3m－2)x+2m－2总过x轴上的一个固定点； (3)若m为正整数，且关于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=mx2－(3m－2)x+2m－2向右平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式． 题三： 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，－3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2． (1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看； (3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式． 题四： 如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为(0，)，点M是抛物线C2：y=mx2－2mx－3m(m＜0)的顶点． (1)求A、B两点的坐标； (2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)当△BDM为直角三角形时，求m的值． 第80讲 期中期末串讲—二次函数(二) 题一： 见详解． 详解：(1)△=b2－4ac=(3k+1)2－4k(2k+1)=(k+1)2≥0，∴该方程必有两个实数根； (2)x==，即，， ∵方程只有整数根，∴应为整数，即应为整数， ∵k为整数，∴k=1； (3)根据题意，k+1≠0，即k≠－1， ∴k=1，此时，二次函数为y=2x2+3x+m， ∵二次函数与x轴有两个不同的交点A和B(A在B左侧)， ∴△=b2－4ac=32－42m=9－8m＞0，m＜， ∵m为非负整数，∴m=0，1， 当m=0时，二次函数为y=2x2+3x，此时A(，0)，B(0，0)，不满足OA=2OB； 当m=1时，二次函数为y=2x2+3x+1，此时A(－1，0)，B(，0)，满足OA=2OB， ∴m=1． 题二： 见详解． 详解：(1)∵关于x的一元二次方程mx2－(3m－2)x+2m－2=0， 有两个不相等的实数根， ∴△=[－(3m－2)]2－4m(2m－2)=m2－4m+4=(m－2)2＞0， ∴m≠0且m≠2， 答：m的取值范围是m≠0且m≠2． (2)令y=0得，mx2－(3m－2)x+2m－2=0，∴x1=1，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(，0)， ∴无论m取何值，抛物线y=mx2－(3m－2)x+2m－2总过x轴上的定点(1，0)， 即无论m取何值，抛物线y=mx2－(3m－2)x+2m－2总过x轴上的一个固定点； (3)∵x=1是整数，∴只需是整数， ∵m是正整数，且m≠0，m≠2，∴m=1， 当m=1时，抛物线的解析式为y=x2－x， 把它的图象向右平移4个单位长度，即y=(x－4)2－(x－4)， ∴y=x2－9x+20， 答：平移后的抛物线的解析式为y=x2－9x+20． 题三： 见详解． 详解：(1)根据题意，可得A(－1，0)，B(3，0)， 则设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x－3)(a≠0)， 又∵点D(0，－3)在抛物线上，∴a(0+1)(0－3)=－3，解得a=1， ∴y=x2－2x－3，自变量范围－1≤x≤3； (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连接CM， 在Rt△MOC中，OM=1，CM=2，∴∠CMO=60，OC=， 在Rt△MCE中，MC=2，∠CMO=60，∴ME= 4， ∴点C、E的坐标分别为(0，)，(－3，0)， ∴切线CE的解析式为； (3)设过点D(0，－3)，“蛋圆”切线的解析式为y=kx－3(k≠0)， 由题意，可知方程组只有一组解， 即kx－3=x2－2x－3有两个相等实根，∴k=－2， ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=－2x－3． 题四： 见详解． 详解：(1)y=mx2－2mx－3m=m(x－3)(x+1)， ∵m≠0，∴当y=0时，x1=－1，x2=3，∴A(－1，0)，B(3，0)； (2)设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得： ，解得，故C1的解析式为y=x2－x－． 如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q， 由B、C的坐标可得直线BC的解析式为y=x－， 设P(x，x2－x－)，则Q(x，x－)， ∴PQ=x－－(x2－x－)=－x2+x， ∴△PBC的面积为=(－x2+x)3=－(x－)2+， 当x=时，△PBC的面积有最大值，最大值为， 则()2－－=－，∴P(，－)； (3)y=mx2－2mx－3m=m(x－1)2－4m，顶点M坐标(1，－4m)， 当x=0时，y=－3m，∴D(0，－3m)，B(3，0)， ∴DM2=(0－1)2+(－3m+4m)2=m2+1， MB2=(3－1)2+(0+4m)2=16m2+4， BD2=(3－0)2+(0+3m)2=9m2+9， 当△BDM为直角三角形时，有DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2， ①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=－1，∵m＜0，∴m=1(舍去)； ②DM2+MB2=BD2时，有m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=－，m=(舍去)． 综上，m=－1或－时，△BDM为直角三角形．