九年级数学上册 第2章 对称图形-圆 2.6 正多边形与圆作业 （新版）苏科版.doc

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2．6　正多边形与圆 一、选择题 1．下列说法中，正确的是(　　) A．各边相等的多边形是正多边形 B．圆内接菱形是正方形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形都是中心对称图形 2. 如图25－K－1，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P是劣弧AB上任意一点(与点B不重合)，则∠BPC的度数为(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 图25－K－1 图25－K－2 3．xx杭州期末如图25－K－2，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为(　　) A．36 B．72 C．108 D．144 4．如图25－K－3，等边三角形ABC内接于⊙O.若边长为4 cm，则⊙O的半径为(　　) A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．2 cm 5．已知正方形的外接圆的半径是R，则正方形的周长是(　　) A.R B．2R C．4 R D．8R 图25－K－3 图25－K－4 6．将圆六等分时，如图25－K－4，只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F.从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．下列可以只用圆规等分的是(　　) ①二等分；②三等分；③四等分；④五等分． A．② B．①② C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 7．如果一个正多边形的中心角为45，那么这个正多边形的边数是________． 图25－K－5 8．xx海曙区模拟如图25－K－5，AB为⊙O的内接正多边形的一边，已知∠OAB＝70，则这个正多边形的内角和为__________. 9．如图25－K－6，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为________． 图25－K－6 10.如图25－K－7，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若点A的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为__________． 图25－K－7 三、解答题 11. 如图25－K－8，正六边形的螺帽的边长a＝17 mm，这个扳手的开口b应是多少？ 图25－K－8 12．作图与证明： 如图25－K－9，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务： (1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF； (2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状，并加以证明. 图25－K－9 13. 如图25－K－10，⊙O的半径为4 cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ.设运动时间为t(s)． (1)求证：四边形PEQB为平行四边形． (2)填空： ①当t＝________s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝________s时，四边形PBQE为矩形． 图25－K－10 动点问题如图25－K－11，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，同时以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM，BN相交于点P. 图25－K－11 (1)求图①中∠APB的度数． (2)图②中∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________． (3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．  详解详析 【课时作业】 [课堂达标] 1．[解析] B　∵各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，∴A选项错误； ∵菱形的对角相等，圆内接四边形对角互补， ∴该菱形的四个角都为90， ∴圆内接菱形是正方形，∴B选项正确； ∵圆的内接矩形不是正多边形， ∴各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形， ∴C选项错误； 正五边形不是中心对称图形，故D选项错误． 故选B. 2．[解析] B　如图，连接OB，OC. ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC＝90， ∴∠BPC＝∠BOC＝45. 故选B. 3．[解析] B　∵五边形ABCDE为正五边形， ∴∠ABC＝∠C＝＝108. ∵CD＝CB， ∴∠CBD＝＝36， ∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝72.故选B. 4．B　5.C 6．[解析] C　只用圆规等分，可以将圆①二等分，②三等分，③四等分，故选C. 7．[答案] 8 [解析] 这个多边形的边数是36045＝8，故答案为8. 8．[答案] 1260 [解析] ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝70， ∴∠AOB＝40. ∵AB为⊙O的内接正多边形的一边， ∴正多边形的边数为＝9， ∴这个正多边形的内角和＝(9－2)180＝1260. 9．[答案] 54 [解析] 如图，连接OB， 则OB＝OA， ∴∠BAO＝∠ABO. ∵点O是正五边形ABCDE的中心， ∴∠AOB＝＝72， ∴∠BAO＝(180－72)＝54. 10． [答案] [解析] 如图，连接OC.∵A(－1，0)， ∴OA＝1. ∵正六边形ABCDEF的中心与坐标原点重合， ∴在Rt△OCG中，∠GOC＝ 30，OC＝1， ∴GC＝，OG＝， ∴C.故答案为. 11．解：设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，如图． 由正六边形的性质可得∠AOB＝60，OA＝AB＝17 mm. ∵OA＝OB，OC⊥AB，∴∠AOC＝30，∴AC＝OA＝8.5 mm，∴OC＝＝mm，∴b＝2OC＝17 mm. 12．[解析] (1)由正六边形ABCDEF的中心角为60，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF； (2)首先连接OE，由六边形ABCDEF是正六边形，易得EF＝BC，＝，则可得BF＝CE，证得四边形BCEF是平行四边形，然后由∠EDC＝∠DEF＝120，∠DEC＝30，求得∠CEF＝90，则可证得结论． 解：(1)如图①，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF， 则正六边形ABCDEF即为所求． (2)四边形BCEF是矩形． 证明：如图②，连接OE. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF＝DE＝DC＝FE＝BC， ∴＝＝＝，∴＝，∴BF＝CE， ∴四边形BCEF是平行四边形． ∵∠EOD＝＝60，OE＝OD， ∴△EOD是等边三角形， ∴∠OED＝∠ODE＝60， ∴∠EDC＝∠FED＝2∠ODE＝120. ∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30， ∴∠CEF＝∠FED－∠DEC＝90， ∴四边形BCEF是矩形． 13．解：(1)证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F. ∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动， ∴AP＝DQ. 在△ABP和△DEQ中， ∴△ABP≌△DEQ(SAS)， ∴BP＝EQ.同理可证PE＝QB， ∴四边形PEQB是平行四边形． (2)①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBQE是菱形，此时t＝2 s．故答案为2. ②当t＝0 s时，∠EPF＝∠PEF＝30， ∴∠BPE＝120－30＝90， ∴此时四边形PBQE是矩形． 当t＝4 s时，同法可知∠BPE＝90，此时四边形PBQE是矩形． 综上所述，t＝0 s或4 s时，四边形PBQE是矩形． 故答案为0或4. [素养提升] 解：(1)∵点M，N分别从点B，C开始，同时以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴＝， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60， ∴∠APB＝180－∠BPM＝120. (2)90　72 (3)能推广到一般的正n边形． 问题：正n边形ABCD…内接于⊙O，点M，N分别从点B，C开始，同时以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM，BN相交于点P，求∠APB的度数． 结论：∠APB的度数为所在正多边形一个外角的度数，即∠APB＝.