九年级数学上册 第2章 对称图形-圆 2.5 直线与圆的位置关系 第4课时 切线长定理练习 苏科版.doc

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2．5　直线与圆的位置关系 第4课时　切线长定理 知|识|目|标 1．通过尝试、交流，了解切线长的概念，探索切线长定理． 2．通过对实际问题的分析，能应用切线长定理解决有关问题． 目标一　探索切线长定理 例1 教材“尝试与交流”补充例题如图2－5－11所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明． 图2－5－11 【归纳总结】与切线长定理有关的常用结论： 图2－5－12 如图2－5－12，PA，PB分别切⊙O于点A，B，射线PO分别交⊙O，AB于点E，D. (1)PA＝PB，AD＝BD； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAB＝∠OBA，∠PAB＝∠PBA； (3)＝； (4)AB⊥OP，OA⊥PA，OB⊥PB. 目标二　能利用切线长定理解决有关问题 例2 教材补充例题如图2－5－13，⊙O是四边形ABCD的内切圆，且AB∥CD，E，M，F，N分别是边AB，BC，CD，DA上的切点．求证：AB＋CD＝AD＋BC. 图2－5－13 例3 教材习题2.5第12题变式如图2－5－14，PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线CD切⊙O于点E. (1)试探究△PCD的周长与线段PA的数量关系； (2)若∠P＝α，求∠COD的度数． 图2－5－14 【归纳总结】解决切线长问题时常作的辅助线： (1)连接圆心和切点； (2)连接两切点； (3)连接圆心和两切线的交点． 知识点一　切线长的概念 在经过圆外一点的圆的切线上，这____与______之间的______的长，叫做这点到圆的切线长． [点拨] 切线是直线，不可量度；切线长是线段的长，可以量度． 知识点二　切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长________． 几何语言：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∴PA＝PB. [点拨] (1)切线与切线长的联系与区别： 名称 联系 区别 切线 研究的都 与切线有关 是一条直线 切线长 是一条线段(圆外一点与切点之间)的长 　　(2)切线长定理进一步验证了圆是轴对称图形． “从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等．”这种说法正确吗？为什么？  详解详析 【目标突破】 例1　解：本题答案不唯一．如图所示，结论： ①∠3＝∠4或∠7＝∠8或∠1＝∠5或∠2＝∠6； ②OP⊥AB；③AC＝BC. 证明②：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90. 在Rt△OAP与Rt△OBP中， ∴△OAP≌△OBP(HL)， ∴PA＝PB. 又∵OA＝OB， ∴OP⊥AB. 例2　证明：∵⊙O切四边形ABCD于点E，M，F，N，由切线长定理，得AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM， ∴AE＋BE＋DF＋CF＝AN＋BM＋DN＋CM， ∴AB＋CD＝AD＋BC. 例3　解：(1)∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E， ∴AC＝CE，BD＝DE，PA＝PB， ∴△PCD的周长＝PD＋DE＋PC＋CE＝PB＋PA＝2PA，即△PCD的周长＝2PA. (2)如图，连接OA，OE，OB. 由切线的性质及切线长定理，得OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE. ∵OA＝OE＝OB， 易证Rt△AOC≌Rt△EOC，Rt△EOD≌Rt△BOD， ∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝(∠AOE＋∠BOE)＝∠AOB. ∵∠P＝α，OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠AOB＝180－α， ∴∠COD＝90－α. 备选目标一　利用切线长定理计算周长 例1　[教材习题2.5第12题变式] 如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，分别交PA，PB于点F，E，已知PA＝12 cm，求△PEF的周长． [解析] 根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，由PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF即可求出答案． 解：∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B， ∴PA＝PB. 又∵直线EF是⊙O的切线，切点为Q， ∴EB＝EQ，FQ＝FA， ∴△PEF的周长＝PE＋PF＋EF＝PE＋PF＋EQ＋FQ＝PE＋PF＋EB＋FA＝PA＋PB＝2PA＝24 cm. [归纳总结] 本题考查了切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 备选目标二　利用切线长定理证垂直 例2　如图，AB，CD为⊙O的切线，AB∥CD，EF也为⊙O的切线，分别交AB，CD于点E，F. 求证：△EFO为直角三角形． [解析] 方法1：利用切线长定理和平行线的性质，可证∠EOF＝90； 方法2：利用等腰三角形三线合一的性质，可证∠EOF＝90. 证明：证法1：如图①，设AB与⊙O相切于点G，EF与⊙O相切于点H，连接OG，OH，则OG⊥AB，OH⊥EF，∴∠AGO＝∠EHO＝90. 在Rt△EGO和Rt△EHO中， ∴Rt△EGO≌Rt△EHO，∴∠1＝∠2. 同理，∠3＝∠4. 又∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180， ∴∠EOF＝180－(∠2＋∠3)＝180－(∠BEF＋∠EFD)＝180－180＝180－90＝90，即△EFO为直角三角形． 证法2：如图②，延长EO交CD于点G. 由AB，CD，EF均为⊙O的切线，可证∠1＝∠2，∠4＝∠5. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠3. ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴EF＝FG. 又∵∠4＝∠5，∴FO⊥EG， 即△EFO为直角三角形． 【总结反思】 [小结]　知识点一　点　切点　线段 知识点二　相等 [反思] 不正确．理由：因为切线是一条直线，它不可量度；而我们所说的切线长是指过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，它是可以量度的．