九年级数学 第10讲 几何问题探究-线段的和、差及旋转相关问题教案.doc

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几何问题探究——线段的和、差及旋转相关问题 知识点 截长补短辅助线的运用、旋转的性质，相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合； 教学目标 熟练掌握线段和差问题的证明方法； 教学重点 能够灵活的运用旋转的性质去证明图形中线段的关系； 教学难点 灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题； 知识讲解 考点1 旋转变换 旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 考点2 两条线段之间的数量关系 在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或AB=CD等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下： 1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b； 2.利用等腰三角形证明a=b； 3.利用含30角的直角三角形证明a=b等； 考点3 两条线段之间的位置关系 在位置关系猜想中，关键是如何证明，方法如下： 1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明； 2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可； 总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。 考点4 三条线段之间的数量关系 当要探究三条线段a、b、c之间的数量关系时，解题步骤为： 1.将其中的两条线段的和（差）转化为另一条线段d的长，即通过证明三角形全等得出两条线段相等，三条线段之间的数量关系转化为两条线段之间的数量关系； 2.在特殊三角形中找到d与另一条线段之间的关系，当这两条线段在同一个特殊三角形中，通过特殊三角形的性质，得出这两条线段之间的数量关系；当变化后两条线段在同一四边形中，可以证明四边形为特殊四边形，通过特殊四边形的性质，得出这两条线段之间的数量关系； 3.结合1.2结论，直接写出三条线段之间的数量关系。 例题精析 考点一 线段和差问题 例1 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB． （1）如图①，当∠DAB=120，∠B=∠D=90时，求证：AB+AD=AC． （2）如图②，当∠DAB=120，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． （3）如图③，当∠DAB=90，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．  例2如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2． （1）求证：AD=AE； （2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：DF-EF= AF； （3）请你在图3中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 考点二 旋转相关问题 例3 如图（1），在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC. （1） 若∠ABC=∠BEF=60，探究PG与PC的位置关系及的值. （2） 将图（1）中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰恰相好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原题中的其它条件不变，如图（2），问题（1）中的结论还成立吗？ （3） 若图（1）中∠ABC=∠BEF=2α（0＜α＜90），将图（1）中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中其它条件不变，请写出的值.  例4如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)．  课程小结 本节课主要研究了线段的和差问题及旋转的相关问题，在遇到多条线段的和差问题时，我们可以首选截长补短的方法来研究，同样也可以根据题干中所给出的特殊条件借助辅助线来研究，而如若遇到旋转相关的问题，只需把握住旋转的性质便可。几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。 例1【规范解答】（1）在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120，∴∠CAB=∠CAD=60． 又∵∠B=∠D=90，∴∠ACB=∠ACD=30．∴AB=AD= AC，即AB+AD=AC． （2）AB+AD=AC．证明如下：如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F． ∵AC平分∠DAB，∴CE=CF．∵∠ABC+∠D=180，∠ABC+∠CBF=180，∴∠CBF=∠D． 又∵∠CED=∠CFB=90，∴△CED≌△CFB．∴ED=BF．∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF． ∵AC为角平分线，∠DAB=120，∴∠ECA=∠FCA=30，∴AE=AF= AC，∴AE+AF=AC， ∴AB+AD=AE+AF=AC．∴AB+AD=AC． （3）AB+AD= AC． 证明如下：如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F． ∵AC平分∠DAB，∵CE⊥AD，CF⊥AF，∴CE=CF． ∵∠ABC+∠ADC=180，∠ADC+∠EDC=180，∴∠ABC=∠EDC． 又∵∠CED=∠CFB=90．∴△CFB≌△CED．∴CB=CD． 延长AB至G，使BG=AD，连接CG．∵∠ABC+∠ADC=180，∠ABC+∠CBG=180， ∴∠CBG=∠ADC．∴△GBC≌△ADC．∴∠G=∠DAC=∠CAB=45．∴∠ACG=90．∴AG= AC． ∴AB+AD= AC． 【总结与反思】（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120，可得∠CAB=∠CAD=60，又由∠B=∠D=90，即可得∠ACB=∠ACD=30，根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC； （2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC； （3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与（2）同理可得△CEB≌△CFD，则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD= AC 例2 【规范解答】（1）证明：∵tanB=2，∴AE=2BE；∵E是BC中点，∴BC=2BE，即AE=BC； 又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC=AE； （2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2） ∵AD∥BC，∴∠ADG=∠DPC；∵∠AEP=∠EFP=90，∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90， 即∠ADG=∠AEF=∠FPE；又∵AE=AD，∠FAE=∠GAD=90-∠EAG，∴△AFE≌△AGD， ∴AF=AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；∴FG= AF，且DF=DG+GF=EF+FG， 故DF-EF= AF； （3）解：如图3， ①当EP≤2BC时，DF+EF= AF，解法同（2）． ②当EP＞2BC时，EF-DF= AF。- 【总结与反思】 （1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证． （2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证． （3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已． 例3【规范解答】（1）延长线段GP交线段DC于点H， ∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH=PG，DH=GF， ∵CD=BC，GF=GB=DH，∴CH=CG，∴CP⊥HG，∠ABC=60，∴∠DCG=120， ∴∠PCG=60，∴PG：PC=tan60= ∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，PG:PC=； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化 证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP， ∵AD∥GF，∴∠HDP=∠GFP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP（ASA），∴GP=HP，GF=HD， ∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60， ∵∠ABC=∠BEF=60，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上， ∴∠GBF=60，∴∠HDC=∠GBF，∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△PGF，∴∠HCD=120， ∵CH=GB，PH=PG，∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60，∴PG:PC=； （3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0＜α＜90），∴∠PCG=90-α， 由（1）可知：PG：PC=tan（90-α），∴PG:PC=tan（90-α）． 【总结与反思】倍长中线构造全等，注意旋转后的图形边的不变性及角度的变化。 例4【规范解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45，AB=AC。 ∵AP=AQ，∴BP=CQ。∵E是BC的中点，∴BE=CE。在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ， ∴△BPE≌△CQE（SAS）。 （2）连接PQ。∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45。∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45=∠EQC+45。∴∠BEP=∠EQC。∴△BPE∽△CEQ。∴。 ∵BP=a，CQ=，BE=CE，∴，即BE=CE=。∴BC=。 ∴AB=AC=BC•sin45=3a。∴AQ=CQ﹣AC=，PA=AB﹣BP=2a。∴在Rt△APQ中，。 【总结与反思】 （1） 由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得△BPE≌△CQE; （2） 由△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45，然后利用三角形的外角的性质，即得∠BEP=∠EQC,则可证得△BPE∽△CEQ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离。