中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第三章 函数 第13讲 二次函数的综合与应用权威预测.doc
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第一部分 第三章 第13讲 如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是假(填“真”或“假”)命题； (2)若一条抛物线系数为[1,0，－2]，则其“抛物线三角形”的面积为2； (3)若一条抛物线系数为[－1,2b,0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式； (4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OBA？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线与x轴的交点个数有三种情况：没交点，一个交点，两个交点，∴任意抛物线都有“抛物线三角形”是假命题． (2)∵一条抛物线系数为[1,0，－2]，∴a＝1，b＝0，c＝－2，即：抛物线的解析式为y＝x2－2， 令x＝0，则y＝－2，令y＝0，解得，x＝，∴“抛物线三角形”的面积为(＋)2＝2. (3)依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点(0,0)和(2b,0)； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据抛物线的对称性可知它一定是等腰直角三角形， ∴顶点为(b，b2)，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得b2＝|2b|，解得b＝0(舍去)或b＝1，∴y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x. (4)①当抛物线为y＝－x2＋2x时，∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OBA，∴△BPQ为等腰直角三角形， 设P(a，－a2＋2a)， ∴Q(a,0)，则|－a2＋2a|＝|2－a| 当－a2＋2a＝2－a时，解得a＝1或a＝2(舍去)， ∴P(1,1)； 当－a2＋2a＝－(2－a)时，解得a＝－1或a＝2(舍去)，∴P(－1，－3)． ②当抛物线为y＝－x2－2x时， ∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OBA， ∴△BPQ为等腰直角三角形，设P(a，－a2－2a)， ∴Q(a,0)， 则|－a2－2a|＝|2＋a|，即|a(a＋2)|＝|a＋2|. ∵a＋2≠0，∴|a|＝1，∴a＝1，∴P(1，－3)或(－1,1)． 综上，存在点P的坐标为(1,1)或(－1，－3)或(1，－3)或(－1,1)．
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