2018-2019学年高一数学 寒假训练05 函数应用.docx

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寒假训练05函数应用 [2018舒兰一中]已知函数，， （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）∵， ∴函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，其图象如图， 则，即，∴． 所以所求实数的取值范围是． （2）当时，． ∴当时，，记． 由题意知，当时，显然不适合题意． 当时，在上是增函数，∴， 记，由题意，知．∴，解得． 当时，在上是减函数，∴， 记，由题意，知．∴，解得． 综上所述：或． 一、选择题 1．[2018宜昌一中]函数的零点所在的大致区间的（） A． B． C． D． 2．[2018会泽县一中]用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（） A．5 B．6 C．7 D．8 3．[2018孝感一中]某同学求函数零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度）可取为（） A． B． C． D． 4．[2018荆州中学]已知，并且，是方程的两根， 实数，，，的大小关系可能是（） A． B． C． D． 5．[2018高新一中]函数的零点个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 6．[2018天津实验中学]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长， 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：，，） A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年 7．[2018天津实验中学]函数在定义域内的零点可能落在下列哪个区间内（） A． B． C． D． 8．[2018辽宁联考]已知方程有两个正根，则实数的取值范围 是（） A． B． C． D． 9．[2018长春十一中]若方程的实根在区间上，则（） A． B．1 C．或1 D．0 10．[2018沙市中学]函数有两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 11．[2018铜仁一中]设方程的两个根分别为，，则（） A． B． C． D． 12．[2018人大附中]设函数，其中表示不超过的最大整数，若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 二、填空题 13．[2018应城一中]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间(单位：分钟)满足函数关系(，，是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟． 14．[2018铁人中学]已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 15．[2018天津实验中学]，若有三个不同的实数解， 则的取值范围为________． 16．[2018荆州中学]已知方程和的解分别为，， 则____． 三、解答题 17．[2018辽宁实验中学]某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量(吨)与时间 (小时，且规定早上6时)的函数关系为：．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管． （1）若进水量选择为2级，试问：水塔中水的剩余量何时开始低于10吨？ （2）如何选择进水量，既能始终保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出? 18．[2018邢台模拟]已知函数． （1）证明：函数在其定义域上是增函数； （2）证明：函数有且只有一个零点； （3）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过．  寒假训练05函数应用 一、选择题 1．【答案】B 【解析】函数，在上单调递增，，，函数零点所在的大致区间是，故选B． 2．【答案】C 【解析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过此操作后，区间长度变为， 用二分法求函数在区间上近似解， 要求精确度为，，解得，故选C． 3．【答案】A 【解析】根据题意，由表格可知，方程的近似根在，，内，据此分析选项A中符合，故选A． 4．【答案】B 【解析】设，则， 分别画出这两个函数的图象，其中的图象可看成是由的图象向上平移2个单位得到，如图， 由图可知，故选B． 5．【答案】B 【解析】令，得，所以，再作出函数的 图像， 由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1，故答案为B． 6．【答案】B 【解析】由题意求满足最小值，由， 得，， ，，，开始超过200万元的年份是，故选B． 7．【答案】C 【解析】因为，， 所以根据零点存在定理得在有零点，故选C． 8．【答案】D 【解析】因为方程有两个正根，所以，，，故选D． 9．【答案】C 【解析】由题意知，，则原方程为， 在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个根，一个在区间上，一个在区间上， 所以或1，故选C． 10．【答案】B 【解析】函数的零点即为的解集， 化简得，令，画出函数图象如下图所示， 由图象可知，若有两个交点，则的取值范围为，所以选B． 11．【答案】D 【解析】如图： 方程有两个根分别为，，不妨令，由图可知两根的范围是，则①，②，作差②-①得:， 即，故选D． 12．【答案】D 【解析】，而， 故， 当时，，故在上的图像如图所示： 因为的图像与的图像有3个交点，故，故，故选D． 二、填空题 13．【答案】(或) 【解析】由题意函数关系（，，是常数）经过点，，，∴，得，，， ∴， ∴得到最佳加工时间为分钟．故答案为． 14．【答案】 【解析】∵有两个零点，∴有两个零点，即与的 图象有两个交点，由可得，或． ①当时，函数的图象如图所示， 此时存在满足题意，故满足题意． ②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意． ③当时，函数单调递增，故不符合题意． ④时，单调递增，故不符合题意． ⑤当时，函数的图象如图所示， 此时存在使得与有两个交点． 综上可得或，所以实数的取值范围是． 15．【答案】 【解析】函数图象如图， 所以若有三个不同的实数解，则的取值范围为． 16．【答案】6 【解析】由题意可得方程和的解分别为和， 设函数的图象和直线的图象交点为， 函数的图象和直线的交点为，线段的中点为， 则点的横坐标为． 函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 且直线自身关于直线对称， ∴，两点关于直线，即点在直线直线， 易得，即，故答案为6． 三、解答题 17．【答案】（1）从7时起，水塔中水的剩余量何时开始低于10吨；（2）进水量应选为第4级． 【解析】（1）当时，由得，且， 所以，．所以从7时起，水塔中水的剩余量何时开始低于10吨． （2）根据题意，进水级，所以． 由左边得， 当时，有最大值．所以． 由右边得， 当时，有最小值，所以， 综合上述，进水量应选为第4级． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】（1）证明：函数的定义域为，设，则，，∴．∴． ∴在上是增函数． （2）证明：∵，， ∴．∴在上至少有一个零点， 又由（1）可知在上是增函数，因此函数至多有一个根， 从而函数在上有且只有一个零点． （3）解：由（2）可知的零点， 取，，， ∴区间长度， 取，，∴． ∴，区间长度， ∴即为符合条件的区间．