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阶段训练五
(范围：1～2)
一、选择题
1．已知某商品生产成本c与产量q(0
0；
当－22时，f′(x)>0.
由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，故选D.
3．函数f(x)＝exsinx在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 A
解析 f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，
∵x∈，∴f′(x)>0，
则f(x)在上是增加的，
f(x)min＝f(0)＝0，
f(x)max＝f＝e，
∴函数f(x)＝exsinx在区间上的值域为.
4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( )
A．2B．1C．－2D．－1
答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－(舍去)，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
所以f(x)的最大值为a＋2＝3，故a＝1.
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋1在x＝1处取得极大值3，则f(x)的极小值为( )
A．－1B．0C．1D．2
考点 函数的极值与导数的关系
题点 含参数的函数求极值问题
答案 C
解析 由题意知f(1)＝a＋b＋1＝3，即a＋b＝2.①
因为f′(x)＝3ax2＋2bx，f′(1)＝0，
所以3a＋2b＝0.②
由①②得a＝－4，b＝6.
所以f′(x)＝－12x2＋12x＝0，
解得x＝0或x＝1.
易知在x＝0处f(x)取极小值1.故选C.
6．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 D
解析 ∵f(x)＝ax－lnx，f(x)>1在(1，＋∞)内恒成立，
∴a>在(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，
∴当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝<0，
即g(x)在(1，＋∞)上是减少的，∴g(x)0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( )
A. B.
C.d D.d
答案 C
解析 设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，00，f(x)是增加的；当dx－.
令f(x)＝x－，
所以f′(x)＝1＋2－xln2>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，
所以a的取值范围为(－1，＋∞)．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x(x＋a)－lnx，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)当a＝－1时，f′(x)＝2x－1－＝＝(x>0)，
所以f(x)在区间(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，
于是f(x)有极小值f(1)＝0，无极大值．
(2)易知f′(x)＝2x＋a－在区间上是增加的，
又由题意可得f′(x)＝2x＋a－＝0在上无解．
即f′≥0或f′(1)≤0，
解得a≥1或a≤－1，
即a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
13．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
1－m
↘
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，
只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)
14．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 D
解析 f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，
要使函数f(x)的图像经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，
即<0，解得a<－或a>.
15．设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0
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