2019高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做11 圆锥曲线：存在性问题 理.docx

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大题精做11 圆锥曲线：存在性问题 [2019株洲一模]已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上， 且轴，的周长为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，． 【解析】（1）由题意，，，， ∵的周长为6，∴， ∴，，∴椭圆的标准方程为． （2）假设存在常数满足条件． ①当过点的直线的斜率不存在时，，， ∴， ∴当时，； ②当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，， 联立，化简得， ∴，． ∴ ， ∴，解得，即时，； 综上所述，当时，． 1．[2019宜昌调研]已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点． 问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 2．[2019江西联考]已知点为抛物线的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于不同的两点，，是否存在实数及定点，对任意实数， 都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．[2019哈三中期末]在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足， 当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为． （1）求的方程； （2）试问在上是否存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标 原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．  1．【答案】（1）；（2）存在直线或． 【解析】（1）∵，，且有，解得，， ∴椭圆的方程为． （2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，， 联立， ∴， ∵，∴为线段的中点，∴……④， 将④代入②解得……⑤ 将④代入③得……⑥ 将⑤代入⑥解得……⑦ 将⑦式代入①式检验成立， ∴，即存在直线或合题意． 2．【答案】（1）；（2）存在及点，对任意实数，都有． 【解析】（1）由得点横坐标为， 由抛物线定义及得，，所以， 所以抛物线的方程为． （2）假设存在实数及定点，对任意实数，都有， 设，，， 联立，得， 则，，， 由，得 ， 所以，，，当时不满足题意，所以， 即存在及点，对任意实数，都有． 3．【答案】（1）；（2）存在，． 【解析】（1）设，则点， 将代入圆，可得， 的方程为． （2）显然，直线存在斜率，设直线的方程为， 联立，消去并整理得， ，化为， 设，，则，， 依题意，可得，， 又， ， ，解得， 由的中点在直线上， ， ，化为， 把代入化为，解得（舍去）或， ，解得，满足，即满足， 在上存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点， 直线的方程为．