2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 专题突破二 焦点弦的性质学案（含解析）新人教B版选修2-1.docx

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专题突破二　焦点弦的性质 抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化． 一、焦点弦性质的推导 例1　抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1. 证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦； (4)＋＝为定值； (5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)； (6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； (7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线． 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 证明　(1)①当AB⊥x轴时， 不妨设A，B， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝. ②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)， 则直线AB的方程为y＝k， 代入抛物线方程y2＝2px， 消元得y2＝2p， 即y2－－p2＝0， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)当θ≠90时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G， 由抛物线定义知|AF|＝|AA1|， 在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ， 由图知|GG1|＝|AA1|， 则p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝， 同理得|BF|＝； 当θ＝90时，可知|AF|＝|BF|＝p， 对于|AF|＝，|BF|＝亦成立， ∴|AF|＝，|BF|＝. (3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p ＝＋＝≥2p， 当且仅当θ＝90时取等号． 故通径为最短的焦点弦． (4)由(2)可得， ＋＝＋＝. (5)当θ＝90时，S△OAB＝2p＝， 故满足S△OAB＝； 当θ≠90时，设直线AB：y＝tanθ， 原点O到直线AB的距离 d＝＝sinθ， S△OAB＝|AB|＝sinθ＝. (6)如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于点M1， 则|MM1|＝＝＝， 故以AB为直径的圆与准线相切． (7)设直线AB的方程：x＝my＋， 代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0. 由(1)可得y1y2＝－p2. 因为BB1∥x轴，∴B1，即B1， ＝＝＝＝＝kOA， 所以∥且公共点为O， 所以直线AB1过点O. 所以A，O，B1三点共线， 同理得B，O，A1三点共线． 二、焦点弦性质的应用 例2　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A.B.C.D. 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　D 解析　方法一　由题意可知，直线AB的方程为 y＝， 代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝3，y1y2＝－， 故所求三角形的面积为＝. 方法二　运用焦点弦倾斜角相关的面积公式， 则S△OAB＝＝＝. (2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16B．14C．12D．10 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　A 解析　方法一　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)， 由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l1的斜率为k， l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)， 由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝＝2＋， 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋. 同理得|DE|＝4＋4k2， ∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16， 当且仅当＝k2，即k＝1时取等号， 故|AB|＋|DE|的最小值为16. 方法二　运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，设直线AB的倾斜角为θ，则θ≠且θ≠0， 因此|AB|＋|DE|＝＋ ＝＋＝＝≥16. 当且仅当θ＝或π时，等号成立． 点评　上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题． 跟踪训练　过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________. 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　 解析　由于y2＝2x的焦点坐标为，由题意知A，B所在直线的斜率存在， 设A，B所在直线的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　) A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x 答案　B 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8. 又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2， ∴x1＋x2＝－4，∴p＝4， ∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B. 4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________． 考点　 题点　 答案　 解析　抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝. 5．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为________． 考点　 题点　 答案　90 解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，如图． ∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B. 又AA1∥Ox∥B1B， ∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B， ∴∠A1FB1＝∠AFB＝90. 一、选择题 1．已知AB是过抛物线y＝2x2的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是(　　) A．1B．2C.D. 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　D 解析　如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′， 由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2， 又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝. 2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　) A．成等差数列 B．既成等差数列又成等比数列 C．成等比数列 D．既不成等比数列也不成等差数列 考点　 题点　 答案　A 解析　设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3， 因为2y＝y＋y， 所以x1＋x3＝2x2， 即|P1F|－＋|P3F|－＝2， 所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|. 3．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　) A．4B．3C．4D．8 答案　C 解析　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30，∵AH垂直于准线， ∴∠FAH＝60，故△AHF为等边三角形．设A，m>0，过F作FM⊥AH于M，则在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是44sin60＝4.故选C. 4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　) A．3B．2C.D. 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　A 解析　由抛物线的性质可知， |AF|＝，|BF|＝， ∴＝＝3. 5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＋y的最小值为(　　) A．4B．6C．8D．10 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　C 解析　由焦点弦的性质知， y1y2＝－4，即|y1||y2|＝4， 则y＋y≥2|y1||y2|＝8， 当且仅当|y1|＝|y2|＝2时，取等号． 故y＋y的最小值为8. 6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF||BF|的最小值是(　　) A．2B.C．4D．2 答案　C 解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF||BF|＝＝≥4. 7.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，则p的值为(　　) A. B．2 C. D. 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　C 解析　设直线l的倾斜角为θ， 由焦点弦的性质知，|BF|＝，|AF|＝， ∴解得 8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　C 解析　当cosθ>0时，|AF|＝，|BF|＝. 由|AF|＝3|BF|，∴＝， 即cosθ＝，此时tanθ＝， 当cosθ<0时，|AF|＝，|BF|＝， 由|AF|＝3|BF|，∴＝， 即cosθ＝－，此时tanθ＝－，故选C. 9．直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，交抛物线C于A，B两点，则＋的取值范围为(　　) A．{1} B．(0,1] C．[1，＋∞) D. 考点　 题点　 答案　A 解析　易知焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1. 当直线l的斜率存在时，设为k， 则直线l的方程为y＝k(x－1)， 代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x. 化简为k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝1， 根据抛物线性质可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， ∴＋＝＋ ＝＝1. 当直线l的斜率不存在时， 则直线l：x＝1，此时|BF|＝|AF|＝2， ∴＋＝1， 综上，＋＝1. 10.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1于点A，B，C，D，则|AB||CD|的值是(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 考点　 题点　 答案　D 解析　易知，直线斜率存在，设为k， 由得y2－(4k2＋2)y＋1＝0， ∵|AB|＝|AF|－1＝yA，|CD|＝|DF|－1＝yD， ∴|AB||CD|＝yAyD＝1. 二、填空题 11．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________． 考点　 题点　 答案　 解析　∵抛物线y2＝x的焦点坐标为，准线方程为x＝－， ∴直线AB为过焦点的直线， ∴AB的中点到准线的距离＝＝2， ∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝. 12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________． 考点　 题点　 答案　 解析　由题意知抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2，2)，则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立，得2x2－5x＋2＝0，可得B，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝1|yA－yB|＝. 13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________. 考点　抛物线中过焦点的弦长问题 题点　与弦长有关的其它问题 答案　6 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)． 由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0， 即x1＋x2＋x3＝3， ||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6. 三、解答题 14.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点． (1)求抛物线的方程； (2)求|AB|＋|CD|的值． 考点　 题点　 解　(1)由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4， 可知圆心为F(2,0)，半径为2， 又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)， 故抛物线方程为y2＝8x. (2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|， ∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|＝4， 则|AB|＋|CD|＝|AD|－4， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在抛物线上， 由已知可知直线l的方程为y＝2(x－2)， 由消去y， 得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6， ∴|AD|＝6＋4＝10， 因此|AB|＋|CD|＝10－4＝6. 15.已知M为抛物线y2＝2px(p>0)上一动点，A(a,0)(a>0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线的另一个交点为N.当A为抛物线的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△OMN的面积为. (1)求抛物线的标准方程； (2)记t＝＋，若t的值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 考点　 题点　 解　(1)由题意知，当直线MA与抛物线对称轴垂直时， S△MON＝|OA||MN|＝2p＝＝， ∴p＝3， 故抛物线C的标准方程为y2＝6x. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线MN的方程为x＝my＋a， 联立得y2－6my－6a＝0， 所以Δ＝36m2＋24a>0， y1＋y2＝6m，y1y2＝－6a， 由对称性，不妨设m>0， 因为a>0，所以y1y2＝－6a<0， 所以y1，y2异号， 又t＝＋＝＋ ＝ t2＝ ＝ ＝ ＝. 所以，当且仅当－1＝0即a＝时，t与m无关，A为稳定点．