2018-2019学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式滚动训练二（4 第1课时-第3课时）北师大版选修4-5.docx

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第一章 不等关系与基本不等式 滚动训练二 一、选择题 1．设Q表示要证明的结论，Pn(n＝1,2,3，…)表示一个明显成立的条件，那么下列表示的证明方法是(　　) Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件 A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．比较法 答案　B 解析　分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．故选B. 2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是(　　) A.＝ B.＜ C.＝且＜ D.＝或＜ 答案　D 解析　与大小包括＞，＝，＜三方面的关系，所以＞的反设应为＝或＜. 3．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是(　　) A.＞ B.＞ C．a＋＞b＋ D．aa＞bb 答案　B 解析　利用不等式的性质，得当a＞b＞0时，＜，由此可知，C不恒成立；当0＜a＜1，a＞b时，可知aa＜bb，D不能恒成立；选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可见A不恒成立．综上可知排除A，C，D，故选B. 4．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是(　　) A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c| B．a2＋≥a＋ C．|a－b|＋≥2 D.－＜－ 答案　C 解析　对于C，当a＞b时，成立；当a＜b时，不成立． 5．要使－＜成立，a，b应满足的条件是(　　) A．ab＜0且a＞b B．ab＞0且a＞b C．ab＜0且a＜b D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b 答案　D 解析　要使－＜成立， 只需(－)3＜()3， 即a－3＋3－b＜a－b， 只需＜， 只需ab2＜a2b， 只需ab(a－b)＞0， 只需ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b. 6．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．1B.C．9D．16 答案　B 解析　＋＝ ＝≥(5＋2)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 故选B. 二、填空题 7．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是________． 答案　a＞b＞c 解析　a－b＝－－＋＝＋－(＋)， 而(＋)2＝8＋2，(＋)2＝8＋2， ∴＋＞＋， ∴a－b＞0，即a＞b. 同理可知b＞c，∴a＞b＞c. 8．已知a，b，c，d都为正数，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________． 答案　(1,2) 解析　由放缩法，得＜＜； ＜＜； ＜＜； ＜＜. 以上四个不等式相加，得1＜S＜2. 9．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________． 答案　a≥0，b≥0，a≠b 解析　由及知a≥0，b≥0， 又a＋b≠a＋b， ∴a≠b，∴a≥0，b≥0，a≠b. 10．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_____． 答案　4 解析　(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2， 当y＝x时取等号， 所以(x＋y)(＋)的最小值为(＋1)2， 于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4. 三、解答题 11．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc. 解　因为b2＋c2≥2bc，a2＞0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.① 同理b2(a2＋c2)≥2ab2c，② c2(a2＋b2)≥2abc2.③ 由①②③， 得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2， 所以a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 由a，b，c都是正数，得a＋b＋c＞0， 因此≥abc(当且仅当a＝b＝c时等号成立)． 12．已知a≥－1，求证以下三个方程： x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解． 证明　假设三个方程都没有实数解， 则Δ1＝16a2－4(－4a＋3)＝16a2＋16a－12＜0， Δ2＝(a－1)2－4a2＝－3a2－2a＋1＜0， Δ3＝4a2－4(－2a)＝4a2＋8a＜0， ∴ 解得－＜a＜－1， 这与a≥－1矛盾． ∴三个方程中至少有一个方程有实数解． 13．求证：1＋＋＋…＋＜2. 证明　设k＞2，则＜＝， ∴1＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝＝2－＜2. ∴1＋＋＋…＋＜2. 四、探究与拓展 14．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N＋. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有＋ ＋…＋＜. (1)解　令n＝1，得S－(－1)S1－32＝0， 即S＋S1－6＝0，所以(S1＋3)(S1－2)＝0， 因为S1＞0， 所以S1＝2，即a1＝2. (2)解　由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0， 得(Sn＋3)[Sn－(n2＋n)]＝0， 因为an＞0(n∈N＋)，Sn＞0，从而Sn＋3＞0， 所以Sn＝n2＋n， 所以当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n， 又a1＝2＝21，所以an＝2n(n∈N＋)． (3)证明　设k≥2，则＝＜＝， 所以＋＋＋…＋ ＜＋ ＝＋－＜. 所以＋＋…＋＜.