2019高考数学二轮复习 专题提能六 算法、概率与统计中的创新考法与学科素养教案 理.doc

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6 算法、概率与统计中的创新考法与学科素养 提分策略一　　探究命题新情景考查应用能力 此类问题多以现实中的生活实例或最新时事为背景考查概率、统计的求解及应用． 　2017年央视315晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”，包括“人用西药”，让所有人惊出一身冷汗．某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中某种动物饲料的概率为，用数字1表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中；在乙企业抽查了两次，每次抽中该动物饲料的概率为，用数字2表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中．该部门每次抽查的结果相互独立．假设该部门完成以上三次抽查． (1)求该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率； (2)设X表示三次抽查所记的数字之和，求随机变量X的分布列和数学期望． 解析：记“恰好抽中一次动物饲料这一产品”为事件A，“在甲企业抽中”为事件B，“在乙企业第一次抽中”为事件C，“在乙企业第二次抽中”为事件D， 则由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝. (1)因为A＝B＋C＋D， 所以P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)＝(1－)(1－)＋(1－)(1－)＋(1－)(1－)＝. (2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 所以P(X＝0)＝P()＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝(1－)(1－)(1－)＝， P(X＝1)＝P(B)＝P(B)[1－P(C)][1－P(D)]＝(1－)(1－)＝， P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝(1－)(1－)＋(1－)(1－)＝， P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝(1－)＋(1－)＝， P(X＝4)＝P(CD)＝[1－P(B)]P(C)P(D)＝(1－)＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＋5＝. 点评　(1)利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率公式，即可求出该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率．(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据事件的独立性和互斥性，即可求出X取各个值时的概率，从而写出X的分布列；利用数学期望的定义，即可求出E(X)． [对点训练] 　(2018南宁模拟)微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20人)，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表： 步数 性别　　 0～2 000 2 001～5 000 5 001～8 000 8 001～10 000 ＞10000 男 1 2 4 7 6 女 0 3 9 6 2 (1)若某人一天行走的步数超过8 000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的22列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 积极型 懈怠型 总计 男 女 总计 (2)在小明这40位好友中，从该天行走的步数超过10 000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X)． 附：K2＝， P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解析：(1)22列联表如下： 积极型 懈怠型 总计 男 13 7 20 女 8 12 20 总计 21 19 40 ∴K2＝≈2.506＜2.706， ∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关． (2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10 000步的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X服从超几何分布，X的所有可能取值为0,1,2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列如下： X 0 1 2 P ∴E(X)＝0＋1＋2＝. 提分策略二　　引入数学文化考学科素养 数学文化与算法、概率的融合命题是高考的热点，多为选择、填空题． 　(2018郑州模拟)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝(　　) A．5　　　 B．4 C．3 D．2 解析：n＝1，S＝2；n＝2，S＝2＋＋2＝；n＝3，S＝＋＋4＝；n＝4，S＝＋＋8＞10，结束循环．则输出的n为4，故选B. 答案：B 点评　从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果． [对点训练] 　欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________． 解析：依题意，所求概率为P＝＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第157页 一、选择题 1．(2018福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》．图中的Mod(N，m)≡n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图，则输出的i等于(　　) A．23　　　 B．38 C．44 D．58 解析：Mod(11,3)≡2成立，Mod(11,5)≡3不成立，i＝12；Mod(12,3)≡2不成立，i＝13；Mod(13,3)≡2不成立，i＝14；Mod(14,3)≡2成立，Mod(14,5)≡3不成立，i＝15；Mod(15,3)≡2不成立，i＝16；Mod(16,3)≡2不成立，i＝17；Mod(17,3)≡2成立，Mod(17,5)≡3不成立，i＝18；Mod(18,3)≡2不成立，i＝19；Mod(19,3)≡2不成立，i＝20；Mod(20,3)≡2成立，Mod(20,5)≡3不成立，i＝21；Mod(21,3)≡2不成立，i＝22；Mod(22,3)≡2不成立，i＝23；Mod(23,3)≡2成立，Mod(23,5)≡3成立，Mod(23,7)≡2成立，结束循环．故输出的i＝23.故选A. 答案：A 2．(2018益阳、湘潭联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,3，则输出v的值为(　　) A．15 B．16 C．47 D．48 解析：执行程序框图，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2≥0，v＝13＋2＝5，i＝1≥0，v＝53＋1＝16，i＝0≥0，v＝163＋0＝48，i＝－1＜0，退出循环，输出v的值． 答案：D 3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：程序运行如下：n＝1，a＝5＋＝，b＝4，a＞b，继续循环； n＝2，a＝＋＝，b＝8，a＞b，继续循环； n＝3，a＝＋＝，b＝16，a＞b，继续循环； n＝4，a＝＋＝，b＝32，此时，a＜b. 输出n＝4，故选C. 答案：C 4．(2018福州模拟)在检测一批相同规格质量共500 kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品的质量约为(　　) A．2.8 kg B．8.9 kg C．10 kg D．28 kg 解析：由题意，可知抽到非优质品的概率为，所以这批航空用耐热垫片中非优质品的质量约为500＝≈8.9 kg. 答案：B 二、填空题 5．某小区有两个相互独立的安全防范系统甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为0.25，则p＝________. 解析：记“系统甲发生故障”“系统乙发生故障”分别为事件A，B，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件C，则P(C)＝P()P(B)＋P(A)P()＝p＋(1－p)＝0.25，解得p＝. 答案： 6．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的数学期望E(η)＞，则p的取值范围是________． 解析：由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞，解得p＞或p＜，又p∈(0,1)，所以p∈. 答案：(0，) 三、解答题 7．(2018洛阳模拟)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司6个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图. (1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份(即x＝7时)的市场占有率． (2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下： 使用年限 车型　　 1年 2年 3年 4年 总计 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：回归直线方程为＝x＋，其中＝，＝－. 解析：(1)由数据计算可得＝＝3.5， ＝＝16. 由公式计算可得，＝2，＝16－23.5＝9. ∴月度市场占有率y与月份代码x之间的线性回归方程为＝2x＋9. 当x＝7时，＝27＋9＝23. 故M公司2017年4月份的市场占有率预计为23%. (2)法一：由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1， ∴每辆A款车产生利润的期望值为 E(X)＝(500－1 000)0.2＋(1 000－1 000)0.35＋(1 500－1 000)0.35＋(2 000－1 000)0.1＝175(元)． 由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2. ∴每辆B款车产生利润的期望值为 E(Y)＝(500－1 200)0.1＋(1 000－1 200)0.3＋(1 500－1 200)0.4＋(2 000－1 200)0.2＝150(元)． ∴E(X)＞E(Y)， ∴应该采购A款单车． 法二：由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1， ∴每辆A款车可使用年限的期望值为 E(X)＝10.2＋20.35＋30.35＋40.1＝2.35(年)， ∴每辆A款车产生利润的期望值为2.35500－1 000＝175(元)． 由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2， ∴每辆B款车可使用年限的期望值为 E(Y)＝10.1＋20.3＋30.4＋40.2＝2.7(年)， ∴每辆B款车产生利润的期望值为2.7500－1 200＝150(元)． ∴应采购A款单车． 8．(2018洛阳模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，认真进行责任追究，派遣四个不同的专家组对A，B，C三座城市进行治霾落实情况检查． (1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，求A城市恰有两个专家组选取的概率； (2)在检查的过程中专家组从A城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下： 分类 患呼吸道疾病 未患呼吸道疾病 合计 户外作业人员 40 60 100 非户外作业人员 60 240 300 合计 100 300 400 根据上面的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患呼吸道疾病”有关？ 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：(1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，共有36种不同方法，若设四个专家组分别为1,2,3,4，则各种选取方法如下表所示： A B C A B C A B C 1,2 3 4 3 1,2 4 3 4 1,2 1,2 4 3 4 1,2 3 4 3 1,2 1,3 2 4 2 1,3 4 2 4 1,3 1,3 4 2 4 1,3 2 4 2 1,3 …… 3,4 1 2 1 3,4 2 1 2 3,4 3,4 2 1 2 3,4 1 2 1 3,4 其中，A城市恰有两个专家组选取的有12种不同方法，如表中前三列所示． 故A城市恰有两个专家组选取的概率P＝＝. (2)K2的观测值k＝＝ 16．16＞6.635， 所以有超过99%的把握认为“户外作业”与“患呼吸道病”有关．