2018-2019版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式滚动训练 新人教A版选修4-5.docx

《2018-2019版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式滚动训练 新人教A版选修4-5.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式滚动训练 新人教A版选修4-5.docx（5页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式 滚动训练(三)(第三讲～第四讲) 一、选择题 1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则＋的最小值是(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　(a＋b)≥2＝4， ∴＋≥. 当且仅当＝， 即a＝b＝8时取等号． 2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为(　　) A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B 答案　C 解析　依数列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为数列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1. 3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 答案　C 解析　当n＝1时，左端＝1＋2＋22，故选C. 4．已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋c＝k(x＋y＋z)，则k等于(　　) A.B.C．9D．3 答案　D 解析　因为x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30， 所以(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝(ax＋by＋cz)2， 又(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2， 当且仅当＝＝＝k时，等号成立， 则a＝kx，b＝ky，c＝kz，代入a2＋b2＋c2＝90， 得k2(x2＋y2＋z2)＝90， 于是k＝3，故选D. 5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1不等式左边(　　) A．增加了一项 B．增加了两项， C．增加了B中两项但减少了一项 D．以上各种情况均不对 答案　C 解析　∵n＝k(k≥2，k∈N＋)时，左边＝＋＋…＋， n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋， ∴增加了两项，，少了一项. 6．函数y＝5＋的最大值是(　　) A．6B．2C．5D．2 答案　D 解析　函数的定义域为[1,3]，且y＞0.由柯西不等式可得y＝5＋＝5＋≤＝2，当且仅当＝，即x＝时，函数取得最大值2，故选D. 7．若2x＋3y＋5z＝29，则函数μ＝＋＋的最大值为(　　) A. B．2 C．2 D. 答案　C 解析　由柯西不等式可得(1＋1＋1)2≤(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)(12＋12＋12)，∵2x＋3y＋5z＝29， ∴(1＋1＋1)2≤120， ∴μ＝＋＋≤2， ∴μ＝＋＋的最大值为2.故选C. 二、填空题 8．已知a，b，c都是正数，且2a＋b＋c＝6，则a2＋ab＋ac＋bc的最大值为________． 答案　9 解析　∵a，b，c都是正数，∴a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)≤2. ∵2a＋b＋c＝6，∴a2＋ab＋ac＋bc≤9， ∴a2＋ab＋ac＋bc的最大值为9. 9．已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________． 答案　220　180 解析　由排序不等式知顺序和最大，反序和最小，故所求最大值为125＋230＋345＝220，最小值为145＋230＋325＝180. 10．已知实数x，y，z满足2x＋y＋3z＝32，则的最小值为________． 答案　 解析　∵12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得(22＋12＋32)[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2]≥(2x－2＋y＋2＋3z)2＝322， ∴≥，当且仅当＝＝时，等号成立， 即的最小值是. 11．已知a，b，c都是正数，a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最小值为________． 答案　 解析　∵(a＋2b＋3c) ＝[()2＋()2＋()2]≥2＝1，当且仅当a＝3b＝9c时取等号， 又a＋2b＋3c＝9，∴＋＋≥，即最小值为. 三、解答题 12．设函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为M. (1)求实数M的值； (2)若不等式＋≤M(其中a＞0)恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以M＝3. (2)因为(＋)2≤[12＋()2](a－x＋2＋x)＝3(a＋2)，当且仅当＝时，等号成立，即当x＝∈[－2，a]时，＋取得最大值，所以≤3. 又a＞0，所以0＜a≤1. 13．已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－2|. (1)求不等式f(x)≥x－1的解集； (2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均为正数，a＋b＋c＝m，求＋＋的最小值． 解　(1)由已知可得或或解得0≤x≤2. 故不等式的解集为[0,2]． (2)f(x)＝ 得最大值，∴m＝f(1)＝2， ∴a＋b＋c＝2. 又(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥(a＋b＋c)2， ∴＋＋≥a＋b＋c＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，故＋＋的最小值是2. 14．已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论． 解　由已知得an＝(n＋1)＝(n＋1)2， bn＝＝2n－1. 当n＝1时，a1＝4，b1＝1，则a1＞b1， 当n＝2时，a2＝9，b2＝3，则a2＞b2， 当n＝3时，a3＝16，b3＝7，则a3＞b3， 当n＝4时，a4＝25，b4＝15，则a4＞b4， 当n＝5时，a5＝36，b5＝31，则a5＞b5 当n＝6时，a6＝49，b6＝63，则a6＜b6， 当n＝7时，a7＝64，b7＝127，则a7＜b7， …， 由此得到，当n∈N＋，n≤5时，an＞bn. 猜想：当n∈N＋，n≥6时，an＜bn. 前一结论上面已用穷举法证明， 后一猜想用数学归纳法证明如下： ①当n＝6时，上面已证a6＜b6. ②假设当n＝k(k∈N＋，k≥6)时，上述结论成立， 即当k≥6时，(k＋1)2＜2k－1. 当n＝k＋1时，要证ak＋1＜bk＋1， 即证(k＋2)2＜2k＋1－1， 只需证(k＋2)2＜22k－1， 根据归纳假设，22k－1＞2[(k＋1)2＋1]－1， 所以只需证(k＋2)2＜2(k＋1)2＋1， 即证k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3， 即证k2＞1. 因为k≥6，所以此式显然成立． 故当n＝k＋1时结论成立． 由①②可知，对任何n∈N＋，n≥6结论都成立．