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第4课时 基本不等式
1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
答案 D
解析 只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a2
0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( )
A. B．4
C. D．2
答案 C
解析 ∵4＝2a＋b≥2，∴ab≤2，≥，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．
7．若x<0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是( )
A．－ B．0
C．2 D．4
答案 D
解析 y＝x2＋－x－≥2＋2＝4，当且仅当x＝－1时取等号．
8．(2015湖南，文)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
答案 C
解析 方法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.
方法二：由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当b＝2a时取“＝”号，选C.
9．(2017金山模拟)函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
答案 A
解析 ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
10．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
解析 (x＋y)(＋)＝1＋a＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，
当且仅当a＝，即ax2＝y2时“＝”成立．
∴(x＋y)(＋)的最小值为(＋1)2≥9.
∴a≥4.
11．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( )
A. B．2
C. D.
答案 A
解析 方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈R.
∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故选A.
方法二：由已知(x2＋y2)(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤.
12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 A
13．(2017四川成都外国语学校)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )
A．16 B．9
C．6 D．1
答案 C
解析 方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝23＝6.
方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋)－10≥16－10＝6.
方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝23＝6.
14．(1)当x>1时，x＋的最小值为________；
(2)当x≥4时，x＋的最小值为________．
答案 (1)5 (2)
解析 (1)∵x>1，∴x－1>0.
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5.
(当且仅当x－1＝.即x＝3时“＝”号成立)
∴x＋的最小值为5.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.
∵函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数，
∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋＋1有最小值.
15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________．
答案
解析 ab≤()2＝，
当且仅当a＝b＝时取等号．
y＝x＋在x∈(0，]上为减函数．
∴ab＋的最小值为＋4＝.
16．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
答案 16
思路 由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a2＋，求出最小值．
解析 ∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤[]2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2＝16.
当a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝时等号成立．
∴a2＋的最小值为16.
17．(2017江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且＋＝，求xy的最小值．
答案 16
解析 由＋＝，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2＋8，∴()2－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16.
18．(2018辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(00)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
答案 D
解析 y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A项不正确；
y＝＝＋≥2，
∵≥，∴取不到“＝”，故B项不正确；
∵x>0时，3x＋≥2＝4，
当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，
∴y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．
2．(2014重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案 D
解析 因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，选择D项．
3．(2016人大附中月考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ＋＋＝，
当abc＝1时，≤[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c.
故abc＝1⇒＋＋≤a＋b＋c.
反过来，若a＝b＝1，c＝4，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，
∴“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
4．(2017山东师大附中月考)已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，那么下列不等式中正确的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤
答案 B
解析 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加可知2(a2＋b2＋c2)≥2(bc＋ab＋ac)，∴a2＋b2＋c2≥1.∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2.∴(a＋b＋c)2≥3.
5．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 由题意知ab＝1，则m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，
∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)．
6．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为________．
答案 2
解析 方法一：由≤可得＋≤＝＝2，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立．
方法二：易知W>0，W2＝3x＋2y＋2＝10＋2≤10＋()2＋()2＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤2，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立．
7．已知三个正数a，b，c成等比数列，则＋的最小值为________．
答案
解析 由条件可知a，b，c>0且b2＝ac，即b＝，故≥＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，令＝t，则y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋＝，即＋的最小值为.
8．(2018河南郑州外国语学校月考)某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年的平均增长率为p%，则p与的大小关系为( )
A．p> B．p＝
C．p≤ D．p≥
答案 C
解析 依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝≤＝1＋，当且仅当m＝n时等号成立，所以p≤，故选C.
9．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．
(1)求实数a，b的值；
(2)若00的解集为{x|x>4或x<1}，
所以x2－5ax＋b＝0的两根分别为1和4，
由根与系数的关系得5a＝1＋4，b＝14，
所以a＝1，b＝4.
(2)由(1)知f(x)＝＋，
所以f(x)＝＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝5＋＋，因为00，>0，所以f(x)≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时等号成立．
所以f(x)的最小值为9.
10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)．
答案 a＝6 m，b＝3 m
解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，
根据题意可知：y＝，其中k是比例系数且k>0.
依题意要使y最小，只需求ab的最大值．
由题设，得4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，
即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．
∵a＋2b≥2，∴2＋ab≤30.
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值．
∴当a＝2b时有2＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0.
解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.
故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．
11．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．
(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．
答案 (1)10天 (2)应该接受此优惠条件
解析 (1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋62＋61]＝9x(x＋1)．
设每天所支付的总费用为y1元，则
y1＝[9x(x＋1)＋900]＋61 800
＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则
y2＝[9x(x＋1)＋900]＋61 8000.90＝＋9x＋9 729(x≥35)．令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝.因为x2>x1≥35，
所以x1－x2<0，x1x2>100，即x1x2－100>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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2019高考数学一轮复习
第7章
不等式及推理与证明
第4课时
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