2019高考数学大二轮复习 专题9 概率与统计 第2讲 综合大题部分增分强化练 理.doc

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第2讲　综合大题部分 1．(2018高考天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； ②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率． 解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． (2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)＝0＋1＋2＋3＝. ②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝. 所以事件A发生的概率为. 2．(2018高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系． 解析：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25＝50， 故所求概率为＝0.025. (2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)． 由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2. 故所求概率估计为0.250.8＋0.750.2＝0.35. (3)Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6. 3．(2018沈阳一模)高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家(在家里感到最幸福)”是否与国别有关，构建了如下22列联表． 在家里最幸福 在其他场所幸福 合计 中国高中生 美国高中生 合计 (1)请将22列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关； (2)从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望． 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 10.828 解析：(1)根据题意，填写列联表如下： 在家里最幸福 在其他场所幸福 合计 中国高中生 22 33 55 美国高中生 9 36 45 合计 31 69 100 根据表中数据，计算K2＝＝≈4.628>3.841， ∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关． (2)依题意得，5个人中2人来自于“在家中”最幸福，3人来自于“在其他场所”最幸福， ∴X的可能取值为0,1,2； 计算P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为E(X)＝0＋1＋2＝. 4．(2018湖南湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示： x 2 4 6 8 10 y 3 6 7 10 12 (1)请根据上表数据在图中绘制散点图； (2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并估计当x＝20时y的值； (3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 参考公式：＝，＝－. 解析：(1)散点图如图所示． (2)依题意得，＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ＝(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6， x＝4＋16＋36＋64＋100＝220， xiyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272， ＝＝＝1.1， 所以＝7.6－1.16＝1， 所以线性回归方程为＝1.1x＋1，故当x＝20时，＝23. (3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4>0， 所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3. P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1＋2＋3＝＝.