广西2020版高考数学一轮复习 单元质检七 不等式、推理与证明 文.docx

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单元质检七　不等式、推理与证明 (时间:45分钟　满分:100分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分) 1.(2018山东济宁期末)已知a>0,b>0,且1a,12,1b成等差数列,则a+9b的最小值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.16 B.9 C.5 D.4 答案A 解析∵1a,12,1b成等差数列,∴1a+1b=1. ∴a+9b=(a+9b)1a+1b=10+ab+9ba≥10+2ab9ba=16, 当且仅当ab=9ba,且1a+1b=1,即a=4,b=43时等号成立. 故选A. 2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理(　　) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 答案C 解析因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 3.若x,y满足约束条件x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0,则z=x+2y的取值范围是 (　　) A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞) 答案D 解析画出约束条件x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0所表示的平面区域为图中阴影部分所示, 由目标函数z=x+2y得直线l:y=-12x+12z, 当l经过点B(2,1)时,z取最小值,zmin=2+21=4. 又因为z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D. 4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 答案D 解析∵2x+2y=1≥22x+y, ∴122≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2. 5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(　　) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案B 解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B. 6.已知实数x,y满足x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2,则z=4x+3y的最大值为(　　) A.3 B.4 C.18 D.24 答案D 解析画出满足条件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2的平面区域,如图所示: 由x-y=-1,2x-y=2,解得A(3,4),由z=4x+3y得y=-43x+13z,结合图象得直线过点A(3,4)时,z最大,z的最大值是24,故选D. 7.已知不等式1a-b+1b-c+λc-a>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.(-∞,4) D.(4,+∞) 答案C 解析变形得λ<(a-c)1a-b+1b-c=[(a-b)+(b-c)]1a-b+1b-c=1+a-bb-c+b-ca-b+1,而1+a-bb-c+b-ca-b+1≥4(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则λ<4.故选C. 8.已知关于x的不等式ax2-5x+b>0的解集为x　　x<-13或 x>12,则不等式bx2-5x+a>0的解集为(　　) A.x-1312 C.{x|-32} 答案C 解析由题意知a>0,且12,-13是关于x的方程ax2-5x+b=0的两根,∴-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5, ∴bx2-5x+a>0为-5x2-5x+30>0,x2+x-6<0,解得-30),即x=80时等号成立,故选B. 10.已知实数x,y满足约束条件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0.若z=y+1x+1的最小值为-14,则正数a的值为(　　) A.76 B.1 C.34 D.89 答案D 解析实数x,y满足约束条件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0的可行域如图阴影部分. 已知a>0,由z=y+1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-14, 所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小, 由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值为-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故选D. 11.(2018山东烟台二模)已知P(x,y)为区域y2-4x2≤0,a≤x≤0内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=x-2y的最小值是(　　) A.-52 B.-32 C.-2 D.0 答案A 解析画出不等式组表示的平面区域,如图所示,则A(a,2a),B(a,-2a), S△ABO=12|a||4a|=2a2=4, 解得a=-2(正值舍去), 所以A-2,-22,B-2,22. 由目标函数的几何意义可得,当z=x-2y过点B时取得最小值,此时z=x-2y=-2-222=-52. 故选A. 12.已知任意非零实数x,y满足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数λ的最小值为(　　) A.4 B.5 C.115 D.72 答案A 解析依题意,得3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2)(当且仅当x=2y时等号成立). 因此有3x2+4xyx2+y2≤4,当且仅当x=2y时等号成立, 即3x2+4xyx2+y2的最大值是4,结合题意得λ≥3x2+4xyx2+y2, 故λ≥4,即λ的最小值是4. 二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分) 13.观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 正方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　　　　　　　. 答案F+V-E=2 解析三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2. 14.已知f(x)=lg(100x+1)-x,则f(x)的最小值为　　　　　. 答案lg 2 解析∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg100x+110x=lg(10x+10-x)≥lg2,当且仅当x=0时等号成立, ∴f(x)的最小值为lg2. 15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.若y=sin x在区间(0,π)内是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　　. 答案332 解析由题意知,凸函数f(x)满足 f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn. ∵y=sinx在区间(0,π)内是凸函数. ∴sinA+sinB+sinC≤3sinA+B+C3=3sinπ3=332. 16.已知实数x,y满足约束条件x≥0,x≥y,2x-y≤1,则23x+2y的最大值是　　　　　. 答案32 解析设z=3x+2y,由z=3x+2y,得y=-32x+z2. 作出不等式组x≥0,x≥y,2x-y≤1对应的平面区域如图阴影部分所示, 由图象可知当直线y=-32x+z2经过点B时,直线y=-32x+z2在y轴上的截距最大,此时z也最大. 由x=y,2x-y=1,解得x=1,y=1,即B(1,1). 故zmax=31+21=5,则23x+2y的最大值是25=32.