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第6课时 全称命题和特称命题的应用
基础达标(水平一 )
1.已知命题p:∃x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题q:∀x∈0,π2,cos x<1,则下列命题为真命题的是( ).
A.p∧q B.p∨(⌝q)
C.(⌝p)∧q D.p∧(⌝q)
【解析】当x0<0时,2x0>3x0,所以不存在x0∈(-∞,0),使得2x0<3x0成立,即p为假命题.显然∀x∈0,π2,恒有cos x<1,所以命题q为真.所以(⌝p)∧q是真命题.
【答案】C
2.已知A为三角形的一个内角,函数y=x2cos A - 4xsin A+6,则命题p:∀x∈R,都有y>0的充分必要条件是( ).
A.A∈0,π6 B.A∈0,π3
C.A∈0,π2 D.A∈π6,π2
【解析】对于∀x∈R,都有y>0,
则cosA>0,Δ=16sin2A-24cosA<0,解得cos A>12.
因为A为三角形的一个内角,所以0
0”
C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为假命题
D.若“p或q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题
【解析】命题“若x2=4,则x=2”的否命题应该为“若x2≠4,则x≠2”,故A错误;
特称命题“∃x0∈R,x02+2x0-1<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x-1≥0”,故B错误;
命题“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,它的逆否命题必为真命题,故C错误;
若“p或q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,故D正确.
【答案】D
9.若命题“∃x∈R,x2+px+1<0”的否定是真命题,则化简p2-4p+4+p2+4p+4的结果是( ).
A.4 B.-4 C.2p D.-2p
【解析】命题“∃x∈R,x2+px+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+px+1≥0”,若其为真命题,则Δ=p2-4≤0,解得-2≤p≤2.所以p2-4p+4+p2+4p+4=2-p+p+2=4,故选A.
【答案】A
10.已知命题p:∃c>0,y=(3-c)x在R上为减函数,命题q:∀x∈R,x2+2c-3>0.若“p∧q”为真命题,则实数c的取值范围为 .
【解析】因为“p∧q”为真命题,所以p,q都是真命题,所以0<3-c<1,2c-3>0,解得20,命题p:定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,且∀x∈ln12,2,2f(x)2f(x)-ex=e-x恒成立,即m>(e-x)max.
又因为函数y=e-x在ln12,2上为减函数,
所以(e-x)max=e-ln 12=2,所以m>2.
若命题q为真,则02,m≥1,解得m>2;
当p假q真时,0
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