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专题突破六 构造函数法在导数中的应用
所谓“构造函数”即从无到有，即在解题的过程中，根据题目的条件和结构特征，不失时机地“构造”出一个具体函数，对学生的思维能力要求较高，难度较大，一般都作为小题或解答题的压轴部分．
一、作差法构造
例1 设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋，它们的图像在x轴上的公共点处有公切线．
求证：当x>1时，f(x)
1知，h′(x)＝－－＝－<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上是减函数，
即h(x)1时，g′(x)>0.
所以x＝1是g(x)的极小值点，也是最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当x∈(0，＋∞)时，≥lnx＋1.
二、分离参数法构造
例2 若对任意的x∈[e，＋∞)，都有xlnx≥ax－a，求实数a的取值范围．
考点
题点
解 对于任意的x∈[e，＋∞)，都有xlnx≥ax－a，
等价于a≤在[e，＋∞)上恒成立，
令h(x)＝，h′(x)＝，x∈[e，＋∞)，
当x≥e时，(x－lnx－1)′＝1－>0，
即m(x)＝x－lnx－1在[e，＋∞)上是增加的，
故m(x)≥m(e)＝e－2>0，
∴h′(x)>0，
所以h(x)＝在[e，＋∞)上是增加的，
h(x)min＝h(e)＝，
所以a≤，
即实数a的取值范围是.
点评 恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数，转化为a≤F(x)min或a≥F(x)max.其中F(x)为构造的新函数．
跟踪训练2 (2018玉溪模拟)已知函数f(x)＝ex＋tx(e为自然对数的底数)．若对于任意的x∈(0,2]，不等式f(x)>0恒成立，则实数t的取值范围为________．
考点
题点
答案 (－e，＋∞)
解析 依题意得ex＋tx>0在(0,2]上恒成立，
即对任意的x∈(0,2]，t>－恒成立．
令g(x)＝－，∴g′(x)＝.
当00；当1f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为( )
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)＝eaf(0) D．不能确定
考点
题点
答案 B
解析 令F(x)＝，
则F′(x)＝＝>0，
从而F(x)＝在R上是增加的，
于是当a>0时，F(a)＝>F(0)＝＝f(0)，
即f(a)>eaf(0)．
点评 常依据(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)和′＝来构造函数．
如熟悉下列结论可达到事半功倍的效果．如：
(1)对于f′(x)＋f(x)>0构造h(x)＝exf(x)；
(2)对于f′(x)－f(x)>0构造h(x)＝；
(3)对于xf′(x)＋f(x)>0构造h(x)＝xf(x)；
(4)对于xf′(x)－f(x)>0构造h(x)＝.
跟踪训练3 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得>0成立的x的取值范围是________．
考点
题点
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 令F(x)＝，
因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数．
又F′(x)＝，
且当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
所以F(x)＝在(0，＋∞)上是减少的，
根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上是增加的，
又f(－1)＝0，f(1)＝0，
数形结合可知，使得>0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
四、条件转化后的形式的构造
例4 设函数f(x)＝lnx＋，m∈R，若对任意b>a>0，<1恒成立，求实数m的取值范围．
考点
题点
解 对任意b>a>0，<1恒成立等价于f(b)－b0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上是减少的，
h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
∴m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)，
则m≥，
∴m的取值范围是.
点评 运用下列形式的等价变形构造：分式形式a)⇔f(b)－f(a)0在(0，＋∞)上恒成立，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点
题点
答案 D
解析 由f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即k>.
令g(x)＝，g′(x)＝，
当x∈时，g′(x)>0，g(x)是增加的，
当x∈时，g′(x)<0，g(x)是减少的．
∴g(x)max＝＝，∴k>.
2．若α，β∈，且αsinα－βsinβ>0，则下列结论正确的是( )
A．α>βB．α2>β2C．α<βD．α＋β>0
考点
题点
答案 B
解析 令f(x)＝xsinx，f′(x)＝sinx＋xcosx，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减少的，
∵αsinα>βsinβ，∴f(α)>f(β)，
又f(x)为偶函数，
∴|α|>|β|，故α2>β2.
3．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，且总有f(x)>xf′(x)，则不等式f(x)>xf(1)的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
考点
题点
答案 C
解析 设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝.
∵f(x)>xf′(x)，∴g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是减少的．
又f(x)>xf(1)⇔>⇔g(x)>g(1)，
∴f(x)>xf(1)的解集为(0,1)．
4．已知函数f(x)的图像关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝(log39)f(log39)，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>cB．c>a>bC．c>b>aD．a>b>c
考点
题点
答案 A
解析 设F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
因为x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，所以F′(x)<0，
则当x<0时，F(x)是减少的，
又f(x)的图像关于y轴对称．
所以f(x)是偶函数，则F(x)为奇函数，
当x>0时，F(x)是减函数，
又1<20.2<2,0a>c.
5．已知函数f(x)＝alnx＋x2(x>0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2都有≥2恒成立，则a的取值范围是________．
考点
题点
答案 [1，＋∞)
解析 由≥2知，函数f(x)的图像上任何一点处的切线斜率都大于或等于2，故f′(x)≥2.
且f′(x)＝＋x(x>0)，
由＋x≥2，有a≥x(2－x)，
记g(x)＝x(2－x)(x>0)，则a≥g(x)在(0，＋∞)上恒成立，
所以a≥g(x)max(x>0)．
而g(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1，当x＝1时，g(x)有最大值1.故a≥1.
6．已知f(x)＝(x>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)比较20162017与20172016的大小并说明理由．
考点
题点
解 (1)f′(x)＝，
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)是增加的，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的，
∴f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)在(e，＋∞)上是减少的，
∴f(2016)>f(2017)，即>，
即2017ln2016>2016ln2017，
即ln20162017>ln20172016，
又y＝lnx在(0，＋∞)上是增加的，
所以20162017>20172016.
7．已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值；
(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－2lnx－x.
则f′(x)＝x－－1＝
＝，x∈[1，e]．
∴当x∈[1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，e]时，f′(x)>0.
∴f(x)在[1,2)上是减函数，在(2，e]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)＝－2ln2.
又f(1)＝－，f(e)＝－e－2，
f(e)－f(1)＝－e－2＋＝<0，
∴f(e)a恒成立，
不妨设0a，
即f(x2)－ax2>f(x1)－ax1.
设g(x)＝f(x)－ax＝x2－2alnx＋(a－2)x－ax＝x2－2alnx－2x，
则g′(x)＝x－－2＝＝.
只需g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
即g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需－1－2a≥0，
解得a≤－.
即a的取值范围是.
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