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课时作业(八) 第8讲 指数与指数函数
时间 / 30分钟 分值 / 75分
基础热身
1.[2018青岛二模] 已知方程x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,则2x12x2= ( )
A.3 B.6
C.8 D.2
2.已知函数f(x)=ax-1+4的图像恒过定点P,则点P的坐标是 ( )
A.(1,5) B.(1,4)
C.(0,4) D.(4,0)
3.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.b>a>c D.c>b>a
4.函数f(x)=ax与g(x)=-x+a在同一坐标系中的图像可能是( )
A B C D
图K8-1
5.不等式3-x2+2x>13x+4的解集为 .
能力提升
6.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为54,则函数y=3a2x-1在[0,1]上的最大值为 ( )
A.16 B.15
C.12 D.34
7.[2018三明5月质检] 若a=π-2,b=aa,c=aaa,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
8.若对于任意x∈(-∞,-1],都有(3m-1)2x<1成立,则m的取值范围是 ( )
A.-∞,13 B.-∞,13
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
9.已知函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,当x<1时,f(x)=12x-1,那么当x>1时,函数f(x)的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,0) B.(1,2)
C.(2,+∞) D.(2,5)
10.已知实数a≠1,函数f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f(1-a)=f(a-1),则a的值为 .
11.[2018湖南八校联考] 对于给定的函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,且a≠1),下面五个结论中正确的是 .(填序号)
①函数f(x)的图像关于原点对称;
②函数f(x)在R上不具有单调性;
③函数f(|x|)的图像关于y轴对称;
④当0
1时,函数f(|x|)的最大值是0.
12.(10分)已知函数f(x)=a4x-a2x+1+1-b(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)-k4x≥0在x∈[-1,1]时有解,求实数k的取值范围.
难点突破
13.(5分)已知函数f(x)=ex-e-x2,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 ( )
A.一定等于零 B.一定大于零
C.一定小于零 D.正负都有可能
14.(5分)已知函数f(x)=2-x,给出下列结论:
①若x>0,则f(x)>1;
②对于任意的x1,x2∈R,x1-x2≠0,必有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
③若0fx1+x22.
其中所有正确结论的序号是 .
课时作业(八)
1.C [解析] 由题得x1+x2=3,∴2x12x2=2x1+x2=23=8.故选C.
2.A [解析] 令x-1=0⇒x=1,又f(1)=5,故图像恒过定点P(1,5).
3.B [解析] 易知b=0.80.9<0.80.7=a<1<1.20.8=c,故选B.
4.A [解析] 因为函数g(x)单调递减,所以排除选项C,D,又因为函数f(x)=ax单调递增时,a>1,所以当x=0时,g(0)=a>1=f(0),所以排除选项B,故选A.
5.(-1,4) [解析] 由3-x2+2x>13x+4可得3-x2+2x>3-x-4,
∴-x2+2x>-x-4,即x2-3x-4<0,
∴不等式3-x2+2x>13x+4的解集为(-1,4).
6.C [解析] ∵函数y=ax在定义域上是单调函数,且y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为54,∴1+a=54,解得a=14,∴函数y=3a2x-1=3142x-1=12116x.∵函数y=12116x在定义域上为减函数,∴当x=0时,函数y=3a2x-1在[0,1]上取得最大值,且最大值是12,故选C.
7.B [解析] 由题意可知a=π-2=1π2∈(0,1),即a<1,
则函数f(x)=ax单调递减,则aa>a1,即aa>a.
由于aa>a,所以结合函数的单调性可得aaac,
由于0a1,即c>a.
综上可得,a,b,c的大小关系为b>c>a.
8.C [解析] ∵2x>0,
∴不等式(3m-1)2x<1对于任意x∈(-∞,-1]恒成立等价于3m-1<12x=12x对于任意x∈(-∞,-1]恒成立.∵x≤-1,∴12x≥12-1=2,∴3m-1<2,解得m<1,∴m的取值范围是(-∞,1).故选C.
9.C [解析] 如图,画出函数y=f(x)的图像,可知当x>1时,函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞),故选C.
10.12 [解析] 当a<1时,41-a=21,所以a=12;
当a>1时,22a-1=4a-1,无解.
所以a的值为12.
11.①③④ [解析] ∵f(-x)=-f(x),x∈R,∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图像关于原点对称,①正确;
当a>1时,f(x)在R上为增函数,当01时,y=f(|x|)在(-∞,0)上为减函数,在[0,+∞)上为增函数,∴当x=0时,y=f(|x|)取得最小值,为0,⑤错误.
综上,正确结论是①③④.
12.解:(1)令n=2x∈[2,4],则y=an2-2an+1-b(a>0),n∈[2,4]有最大值9和最小值1,
易知函数y=an2-2an+1-b的图像的对称轴为直线n=1,
∴当n=2时,ymin=4a-4a+1-b=1,当n=4时,ymax=16a-8a+1-b=9,∴a=1,b=0.
(2)由(1)知,4x-22x+1-k4x≥0在x∈[-1,1]时有解.
设2x=t,
∵x∈[-1,1],∴t∈12,2,
∴t2-2t+1-kt2≥0在t∈12,2时有解,
∴k≤t2-2t+1t2=1-2t+1t2,t∈12,2.
再令1t=m,则m∈12,2,
∴k≤m2-2m+1=(m-1)2≤1,即k≤1,
故实数k的取值范围是(-∞,1].
13.B [解析] 由已知可得f(x)为奇函数,且f(x)在R上是增函数.由x1+x2>0⇒x1>-x2⇒f(x1)>f(-x2)=-f(x2),同理可得f(x2)>-f(x3),f(x3)>-f(x1),故f(x1)+f(x2)+f(x3)>-[f(x2)+f(x3)+f(x1)]⇒f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.
14.②④ [解析] f(x)=2-x=12x.
对于①,当x>0时,12x∈(0,1),故①错误.
对于②,f(x)=12x在R上单调递减,所以(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,故②正确.
对于③,f(x)x表示f(x)图像上的点与原点连线的斜率,由f(x)=12x的图像可知,当0f(x2)x2,即x2f(x1)>x1f(x2),故③错误.
对于④,由f(x)的图像可知,f(x1)+f(x2)2>fx1+x22,故④正确.
综上所述,所有正确结论的序号是②④.
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