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课时分层作业 十一函数与方程
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2018赣州模拟)函数f(x)=x3+3x-1在以下哪个区间内一定有零点
( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
【解析】选B.显然f(x)的图象是连续不断的,又因为f(-1)=-5,f(0)=-1,f(1)=3,f(2)=13,f(3)=35,所以f(0)f(1)<0.其他选项两端点值乘积都大于零.
2.函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是
( )
A.a<0 B.0
1
【解析】选A.当x>0时,x=1是函数f(x)的一个零点,当x≤0时,-2x+a≤0恒成立,即a≤2x恒成立,故a≤0.
3.函数f(x)=的零点个数为 ( )
A.3 B.2 C.7 D.0
【解析】选B.由f(x)=0得或解得x=-2或x=e.
因此函数f(x)共有2个零点.
【一题多解】本题还可以采用如下解法:
选B.函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.
4.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为
( )
A.[2-,2+] B.(2-,2+)
C.[1,3] D.(1,3)
【解析】选B.画出函数图象如图所示,由图可知,b的取值范围是直线y=-1与函数g(x)交点的两个横坐标之间,由-x2+4x-3=-1,解得x=2,故b∈(2-,2+).
5.(2018昆明模拟)若函数f(x)=|x|,则函数y=f(x)-lo|x|的零点个数是
( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【解析】选D.如图,函数f(x)与函数g(x)=lo|x|有2个交点,所以选D.
6.方程sin 2πx-=0(x∈[-2,3])所有根之和为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解题指南】作出函数图象判断根的个数,利用图象的对称性得出根的和.
【解析】选C.作出y=sin 2πx和y=在[-2,3]上的函数图象如图所示:
由图象可知方程sin 2πx-=0在[-2,3]上有4个根.
因为y=sin 2πx和y=都关于点对称,
所以方程的4个根两两关于点对称,
所以方程的4个根的和为22=2.
【变式备选】已知函数f(x)=-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解题指南】分别作出y=和y=cos x在[0,2π]上的图象,数形结合求解.
【解析】选C.令f(x)=0得=cos x,
分别作出y=和y=cos x的函数图象,
由图象可知y=和y=cos x在[0,2π]上有3个交点.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.(2018嘉兴模拟)设函数y=x3与y=的图象交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.
【解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,因为f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以x0∈(1,2).
答案:(1,2)
8.(2018日照模拟)已知函数f(x)=若存在三个不相等的实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围为________.
【解题指南】作出f(x)的函数图象,判断a,b,c的关系和范围,从而得出答案.
【解析】f(x)=作出f(x)的函数图象如图所示:
因为存在三个不相等的实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c),不妨设a1),在区间(-2,6]上恰有3个零点,则a的取值范围是______________.
【解析】因为对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)-f(2),当x=-2时,易得:f(-2+4)=f(-2)-f(2),又函数f(x)是R上的偶函数,易得:f(2)=0,故f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是一个周期函数,且T=4,又因为当x∈[-2,0]时,f(x)=-1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数,故函数f(x)在区间(-2,6]上的图象如图所示:
若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数解,则loga4<3,loga8>3,解得0,g′(x)=-1+x-x2<0,又f(-1)<0,f(0)>0; g(1)>0,g(2)<0,因此函数F(x)的零点均在区间[-1,2]内,b-a的最小值为2-(-1)=3.
答案:3
1.(5分)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是
( )
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
【解析】选C.由题意可得函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,所以f(1)f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得01,00,从而由零点存在性定理可知f(x)在(-1,0)上存在零点.
3.(5分)(2018广州模拟)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0)对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是__________.
【解题指南】确定函数f(x),g(x)在[-1,2]上的值域,根据对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),可知g(x)的值域是f(x)的值域的子集,从而得到实数a的取值范围.
【解析】因为函数f(x)=x2-2x的图象是开口向上的抛物线,且关于直线x=1对称,所以x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,可得f(x)的值域为[-1,3];又因为g(x)=ax+2(a>0),x∈[-1,2],所以g(x)为单调增函数,g(x)的值域为[g(-1),g(2)],即g(x)∈[2-a,2a+2],因为对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),所以所以00),则t2+mt+1=0.
当Δ=0时,即m2-4=0,
所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).
所以2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2时,
t2+mt+1=0有两正或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点.
所以这种情况不符合题意.
综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.
(2)由(1)可知,该函数的零点为x=0.
5.(13分)设函数f(x)=(x>0).
(1)作出函数f(x)的图象.
(2)当0
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全国通用版2019版高考数学一轮复习
第二章
函数、导数及其应用
课时分层作业
十一
2.8
函数与方程
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