江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量学案.doc
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第3讲 平面向量 [考情考向分析] 1.江苏高考对平面向量侧重基本概念与基本计算的考查．重点是向量的数量积运算.2.向量作为工具，常与三角函数、数列、解析几何等结合，考查向量的综合运用．解题时要注意解析法和转化思想的渗透． 热点一 平面向量的线性运算 例1 (1)如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝____________. 答案 (a＋b) 解析 因为DE∥BC，所以DN∥BM， 则△AND∽△AMB，所以＝. 因为＝，所以＝. 因为M为BC的中点， 所以＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝＝(a＋b)． (2)(2018江苏启东中学模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，点E是BC的中点．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的值为________． 答案 解析 由题意得，＝(＋)＝(＋3) ＝(＋3－3)＝2－， ∴＝＋， 故x＋y＝＋＝. 思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意向量共线定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． 跟踪演练1 (1)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135，设＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________． 答案 解析 由∠AOC＝135知，点C在直线y＝－x(x<0)上， 设点C的坐标为(a，－a)，a<0， ∵＝－＋λ(λ∈R)，∴有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)， 得a＝－1＋λ，－a＝λ，消去a得λ＝. (2)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为________． 答案 解析 ∵＝，＝， ∴＝，＝2. 由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋， ∴＝λ＝λ(＋) ＝λ＝λ＋2λ， 由E，F，K三点共线，得λ＋2λ＝1，可得λ＝. 热点二 平面向量的数量积 例2 (1)(2018江苏兴化一中模拟)在△ABC中，点D，E分别在线段AC，BC上，＝，若AE，BD相交于点F，且||＝，则＝________. 答案 3 解析 如图，由已知，得－＝0， ∴(＋)－(＋)＝0， ∴－＝0， ∴(＋)＝0，即＝0， ∴BD⊥AE，在Rt△BEF中，＝||2＝3. (2)(2018江苏扬州中学模拟)如图，已知AC＝BC＝4，∠ACB＝90，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最小值是________． 答案 8－4 解析 以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－2,0)，C(2，0)，O(0,0)，M(2，－2)， 设D(2cos α，2sin α)， ∴＝(4，－2)， ＝(2－2cos α，－2sin α)， ∴＝4(2－2cos α)＋4sin α ＝8＋4sin(α－θ)， 其中tan θ＝2， ∵sin(α－θ)∈[－1,1]，∴()min＝8－4. 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用． (2)求解几何图形中的数量积问题，把向量分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算，也是一种较为简捷的方法． 跟踪演练2 (1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若＝－3，则＝________. 答案 解析 方法一 设＝4a，＝3b， 其中|a|＝|b|＝1， 则＝2a，＝2b. 由＝(＋)(＋)＝－3， 得(3b＋2a)(2b－4a)＝－3， 化简得ab＝， 所以＝12ab＝. 方法二 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(4,0)， 设D(3cos α，3sin α)， 则C(3cos α＋2,3sin α)，M(2cos α，2sin α)． 由＝－3， 得(3cos α＋2,3sin α)(2cos α－4,2sin α)＝－3， 化简得cos α＝， 所以＝12cos α＝. (2)如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90，D是BC的中点，若向量＝＋m，且的终点M在△ACD的内部(不含边界)，则的取值范围是________． 答案 (－2,6) 解析 ＝(＋) ＝ ＝－16＋16m2 ＝16m2－3， 由平行四边形法则可得m∈， 所以的取值范围是(－2,6)． 热点三 平面向量的综合问题 例3 (1)已知正实数x，y满足向量a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2，1)共线，c＝，且a(a－c)≥0恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案 解析 由a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2,1)共线得x＋y＝2(xy－2)， 则x＋y＋4＝2xy≤， 即(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0， 当且仅当x＝y时等号成立． 又由x，y是正实数，得x＋y≥4. 不等式a(a－c)≥0， 即a2≥ac， 所以(x＋y)2＋4≥m(x＋y)＋3， 即(x＋y)2－m(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4， 则t2－mt＋1≥0，t∈[4，＋∞)．(*) 对于方程t2－mt＋1＝0，当Δ＝m2－4≤0， 即－2≤m≤2时，(*)式恒成立； 当m<－2时，相应二次函数y＝t2－mt＋1的对称轴t＝<－1，(*)式恒成立； 当m>2时，由相应二次函数y＝t2－mt＋1的对称轴t＝<4，且16－4m＋1≥0， 得2
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