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第四讲 不等式
一、选择题
1．已知互不相等的正数a，b，c满足a2＋c2＝2bc，则下列等式中可能成立的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
解析：若a>b>0，则a2＋c2>b2＋c2≥2bc，不符合条件，排除A，D；
又由a2－c2＝2c(b－c)得a－c与b－c同号，排除C；
当b>a>c时，a2＋c2＝2bc有可能成立，例如：取a＝3，b＝5，c＝1.故选B.
答案：B
2．已知b>a>0，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是( )
A．log3a>0 B．3a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．3≥6
解析：对于A，由log3a>0可得log3a>log31，所以a>1，这与b>a>0，a＋b＝1矛盾，所以A不正确；对于B，由3a－b<可得3a－b<3－1，所以a－b<－1，可得a＋1
a>0，a＋b＝1矛盾，所以B不正确；对于C，由log2a＋log2b<－2可得log2(ab)<－2＝log2，所以ab<，又b>a>0，a＋b＝1>2，所以ab<，两者一致，所以C正确；对于D，因为b>a>0，a＋b＝1，所以3>32＝6, 所以D不正确，故选C.
答案：C
3．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x－b)>0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由题知(x－a)(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
答案：C
4．已知a∈R，不等式≥1的解集为P，且－2∉P，则a的取值范围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：∵－2∉P，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
答案：D
5．已知x，y满足则z＝8－xy的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－xy＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－31－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.
答案：D
6．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：A
7．已知实数x，y满足如果目标函数z＝3x－2y的最小值为0，则实数m等于( )
A．4 B．3
C．6 D．5
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝3x－2y所对应的直线经过点A时，z取得最小值0.
由
求得A.
故z的最小值为3－2＝－＋，
由题意可知－＋＝0，解得m＝5.
答案：D
8．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：因为≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥.
答案：C
9．(2018太原一模)已知实数x，y满足条件则z＝x2＋y2的取值范围为( )
A．[1,13] B．[1,4]
C． D．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：2x－y＋2＝0的距离的平方，所以zmin＝2＝，最大值为点O与点A(－2,3)的距离的平方，所以zmax＝|OA|2＝13，故选C.
答案：C
10．(2018衡水二模)若关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2>0，
又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，
∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．
∴x1＋x2＋的最小值是.
答案：C
11．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
答案：C
12．(2018淄博模拟)已知点P(x，y)∈{(x，y)|M(2，－1)，则(O为坐标原点)的最小值为( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由题意知＝(2，－1)，＝(x，y)，设z＝＝2x－y，显然集合{(x，y)|对应不等式组所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝2x－y对应的直线经过点A时，z取得最小值．由得A(－2,2)，所以目标函数的最小值zmin＝2(－2)－2＝－6，即的最小值为－6，故选C.
答案：C
二、填空题
13．(2018青岛模拟)若a>0，b>0，则(a＋b)的最小值是________．
解析：(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋，因为a>0，b>0，所以(a＋b)≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．所以所求最小值为3＋2.
答案：3＋2
14．(2018高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，
由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．
由得点C(5,4)，
∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
15．(2018石家庄模拟)若x，y满足约束条件则z＝的最小值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P(－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－.
答案：－
16．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．
解析：令logab＝t，由a>b>1得0
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