广西2020版高考数学一轮复习 考点规范练23 解三角形 文.docx

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考点规范练23　解三角形 一、基础巩固 1.在△ABC中,c=3,A=75,B=45,则△ABC的外接圆的面积为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.π4 B.π C.2π D.4π 答案B 解析在△ABC中,c=3,A=75,B=45, 故C=180-A-B=60. 设△ABC的外接圆半径为R, 则由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1, 故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π. 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=(　　) A.12 B.1 C.3 D.2 答案B 解析由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12, 整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B. 3.(2018广东中山质检)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面积S=3,则b等于(　　) A.13 B.4 C.3 D.15 答案A 解析由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB, ∴cosB=12,∴B=π3. 又S=12acsinB=121c32=3,∴c=4. 又b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13, ∴b=13. 4.设△ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是(　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案D 解析∵△ABC的三内角A,B,C成等差数列,∴B=π3. ∵sinA,sinB,sinC成等比数列, ∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac. 在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3, ∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c. ∴△ABC为等边三角形. 5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　) A.30 B.45 C.60 D.75 答案B 解析依题意可得AD=2010m,AC=305m, 又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=600060002=22,又0<∠CAD<180,所以∠CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45. 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　) A.43 B.23 C.2 D.3 答案A 解析∵在△ABC中,2a-cb=cosCcosB, ∴(2a-c)cosB=bcosC. ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA. ∴cosB=12,即B=π3. 由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac, 故ac≤16,当且仅当a=c时取等号, 因此,△ABC的面积S=12acsinB=34ac≤43,故选A. 7.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,则C=　　　　　. 答案π3 解析在△ABC中,∵(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB, ∴(a-c)(a+c)b=a-b. ∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b2-c22ab=12. ∴C=π3. 8.在△ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=　　　　　. 答案6 解析由题意及正弦定理,可知ABsin∠ADB=ADsinB, 即2sin∠ADB=332,故∠ADB=45. 所以12A=180-120-45,故A=30, 则C=30,所以三角形ABC是等腰三角形. 所以AC=22sin60=6. 9. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60,其中A到C的距离比B到C的距离远40米,A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30,则该仪器的垂直弹射高度CH为　　　　　米. 答案1406 解析由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米, 在△ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BACAcos∠BAC, 即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30+15=45, ∠CHA=90-30=60, 由正弦定理得CHsin∠CAH=ACsin∠AHC, 可得CH=ACsin∠CAHsin∠AHC=1406(米). 10.已知岛A南偏西38方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船? 参考数据:sin38=5314,sin22=3314 解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h, 则BC=0.5xnmile,AC=5nmile, 依题意,∠BAC=180-38-22=120, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120, 解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14. 又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5327=5314,所以∠ABC=38. 又∠BAD=38,所以BC∥AD. 故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船. 二、能力提升 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=(　　) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案B 解析由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0, 整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0, 则sinC(sinA+cosA)=0, 因为sinC>0,所以sinA+cosA=0, 即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=3π4. 由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC, 即sinC=12,所以C=π6,故选B. 12.(2018全国Ⅰ,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　　. 答案233 解析由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,设△ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以a=R. 因为b2+c2-a2=8>0,所以cosA>0,0A,∴B=π3或2π3,∴C=π2或π6.