广西2020版高考数学一轮复习 考点规范练48 直线与圆锥曲线 文.docx

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考点规范练48　直线与圆锥曲线 一、基础巩固 1.(2018甘肃兰州一诊)双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.54 B.5 C.54 D.5 答案D 解析不妨设x2a2-y2b2=1的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点, 由y=bax,y=x2+1得ax2-bx+a=0, 所以Δ=b2-4a2=0, 即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故选D. 2.(2018山东烟台期末)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为83,则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=32x B.y=22x C.y=23x D.y=2x 答案B 解析由题意得|AB|=2b2a,∵S△AOB=83, ∴122b2a1=83,∴b2a=83. ① ∵a2+b2=1, ② 解①②得a=13,b=223, ∴双曲线的渐近线方程为y=bax=22x.故选B. 3.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,直线l在y轴上的截距的取值范围是(　　) A.34,+∞ B.34,+∞ C.(2,+∞) D.(-∞,-1) 答案A 解析设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m, 联立方程y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0, 从而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12. 又AB的中点-12,m+1在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是34,+∞. 4.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　) A.5 B.22 C.23 D.33 答案C 解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3. 因为M在x轴的上方,所以M(3,23). 因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,23). 因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1). 所以M到直线NF的距离为|3(3-1)+23|(-3)2+12=23. 5.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　) A.2 B.455 C.4105 D.8105 答案C 解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t, 由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0. 则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5. 所以|AB|=1+k2|x1-x2| =1+k2(x1+x2)2-4x1x2 =2-85t2-44(t2-1)5=4255-t2, 当t=0时,|AB|max=4105. 6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为 (　　) A.32 B.52 C.2 D.3 答案A 解析由双曲线的定义知2a=4,得a=2, 所以抛物线的方程为y=2x2. 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上, 所以y1=2x12,y2=2x22, 两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2), 不妨设x1b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2). (1)求椭圆C的方程; (2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值. 解(1)由题意可得,c=2,b=2, 由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=22. 故椭圆C的方程为x28+y24=1. (2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0), 由y=x+m,x28+y24=1消y,得3x2+4mx+2m2-8=0, 则Δ=96-8m2>0,所以-230)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H. (1)求|OH||ON|; (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由. 解(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t. 又N为M关于点P的对称点, 故Nt2p,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t. 所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2. (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点. 理由如下: 直线MH的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t). 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点. 10.(2018福建厦门第一次质检)设O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为255.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5. (1)求椭圆C的方程; (2)设点P(0,1),PAPB=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标. 解(1)设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线. ∴OM=12AF1,MF=12AF, ∴|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5, ∵e=ca=255,∴c=25,∴b=5, ∴椭圆C的方程为x225+y25=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立y=kx+m,x225+y25=1消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0. ∴Δ>0,x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-251+5k2, ∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2, y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2=-25k2+m21+5k2, ∵P(0,1),PAPB=-4, ∴(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4, ∴5m2-251+5k2+-25k2+m21+5k2-2m1+5k2+5=0, 整理得3m2-m-10=0, 解得m=2或m=-53(舍去). ∴直线l过定点(0,2). 二、能力提升 11.(2018天津,文7)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　) A.x23-y29=1 B.x29-y23=1 C.x24-y212=1 D.x212-y24=1 答案A 解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax. 如图,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作FE⊥CD于点E. 由题易知EF为梯形ABCD的中位线, 所以|EF|=12(d1+d2)=3. 又因为点F(c,0)到直线y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b, 所以b=3,b2=9. 因为e=ca=2,a2+b2=c2,所以a2=3,所以双曲线方程为x23-y29=1.故选A. 12.设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　　　　　. 答案(27,8) 解析由题意,知a=1,b=3,c=2,则e=ca=2. 设P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设P在右支上,由△F1PF2为锐角三角形,可知1|F1F2|2, 即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>72, 所以720,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标缩为2a,则C的离心率为　　　　　　　　. 答案2+3 解析不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=ba(x-c),与C交于P(x0,y0). ∵x0=2a,∴y0=ba(2a-c). 又P(x0,y0)在双曲线C上,∴(2a)2a2-b2a2(2a-c)2b2=1. ∴整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e, 故1-4e+e2=0. ∴e1=2-3(舍去),e2=2+3. 即双曲线C的离心率为2+3. 14.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|. 解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1. 解得4-73b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(3,0),点P坐标为(-2,2),且直线PA1⊥x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 解(1)由题意可知a=2,c=3,所以b=1. 所以椭圆的方程为x24+y2=1. (2)是定值,定值为-14. 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2), 设直线AB的方程为x=my-2m-2, 联立x2+4y2=4,x=my-2m-2⇒(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0, 所以y1+y2=4m2+4mm2+4,y1y2=4m2+8mm2+4, 因为点Q在直线OP上,所以可设Q(-t,t). 又Q在直线AA2上,所以t-t-2=y1x1-2⇒t=-2y1x1+y1-2, 所以k1k2=-2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2 =-y1y2(x2+2)(x1+2y1-2) =-y1y2(my2-2m)(m+2)(y1-2) =-y1y2(m2+2m)[y1y2-2(y1+y2)+4] =-14.