广西2020版高考数学一轮复习 单元质检六 数列（B） 文.docx

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单元质检六　数列(B) (时间:45分钟　满分:100分) 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分) 1.已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则a1+a5+a9a2+a3=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.5 D.7 答案B 解析设{an}的公差为d.由题意,得a42=a2a8, ∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),∴d2=a1d. ∵d≠0,∴d=a1,∴a1+a5+a9a2+a3=15a15a1=3. 2.在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=52,则a1=(　　) A.2 B.4 C.2 D.22 答案B 解析设{an}的公比为q.由已知,得a1q2=1,a1q+a1q3=52, ∴q+q3q2=52,q2-52q+1=0, ∴q=12(q=2舍去),∴a1=4. 3.(2018河北唐山期末)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若{Sn+λ}为等比数列,则λ=(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案B 解析由题意,得{an}是等比数列,公比为2, ∴Sn=2n-1,Sn+λ=2n-1+λ. ∵{Sn+λ}为等比数列,∴-1+λ=0, ∴λ=1,故选B. 4.(2018陕西西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则满足SnSn+1<0的正整数n的值为(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 答案C 解析设{an}的公差为d. ∵S6>S7>S5, ∴6a1+652d>7a1+762d>5a1+542d, ∴a7<0,a6+a7>0, ∴S13=13(a1+a13)2=13a7<0, S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)>0, ∴满足SnSn+1<0的正整数n的值为12,故选C. 5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=(　　) A.80 B.26 C.30 D.16 答案C 解析设各项均为正数的等比数列{an}的首项为a1,公比为q. ∵Sn=2,S3n=14,∴a1(1-qn)1-q=2,a1(1-q3n)1-q=14, 解得qn=2,a11-q=-2. ∴S4n=a11-q(1-q4n)=-2(1-16)=30.故选C. 6.(2018河南洛阳一模)《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,现自上而下取第1,3,9节,则这3节的容积之和为(　　) A.133升 B.176升 C.199升 D.2512升 答案B 解析设自上而下各节的容积分别为a1,a2,…,a9,公差为d, ∵上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升, ∴a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a9+a8+a7=3a1+21d=4, 解得a1=1322,d=766, ∴自上而下取第1,3,9节,这3节的容积之和为a1+a3+a9=3a1+10d=31322+10766=176(升). 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分) 7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三数成等差数列.若中间项减去6,则三数成等比数列,则此未知数是　　　　　　　　. 答案3或27 解析设此三数为3,a,b,则2a=3+b,(a-6)2=3b,解得a=3,b=3或a=15,b=27.故这个未知数为3或27. 8.已知数列{an}满足:a1=1,an=an-12+2an-1(n≥2),若bn=1an+1+1an+2(n∈N*),则数列{bn}的前n项和Sn=　　　　　. 答案1-122n-1 解析当n≥2时,an+1=an-12+2an-1+1=(an-1+1)2>0, 两边取以2为底的对数可得log2(an+1)=log2(an-1+1)2=2log2(an-1+1), 则数列{log2(an+1)}是以1为首项,2为公比的等比数列,log2(an+1)=2n-1,an=22n-1-1, 又an=an-12+2an-1(n≥2),可得an+1=an2+2an(n∈N*), 两边取倒数可得1an+1=1an2+2an=1an(an+2) =121an-1an+2, 即2an+1=1an-1an+2,因此bn=1an+1+1an+2=1an-1an+1, 所以Sn=b1+…+bn=1a1-1an+1=1-122n-1, 故答案为1-122n-1. 三、解答题(本大题共3小题,共44分) 9.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且12,an,Sn成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)(log2a2n+3),求数列1bn的前n项和Tn. 解(1)∵12,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+12. 当n=1时,2a1=S1+12,即a1=12; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即anan-1=2, 故数列{an}是首项为12,公比为2的等比数列,即an=2n-2. (2)∵bn=(log2a2n+1)(log2a2n+3)=(log222n+1-2)(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1), ∴1bn=12n-112n+1=1212n-1-12n+1. ∴Tn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1 =121-12n+1=n2n+1. 10.(15分)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,2an+1=an,b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1-1. (1)求an与bn; (2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn. 解(1)∵2an+1=an,∴{an}是公比为12的等比数列. 又a1=2,∴an=212n-1=12n-2. ∵b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1-1, ① ∴当n=1时,b1=b2-1,故b2=2. 当n≥2时,b1+12b2+13b3+…+1n-1bn-1=bn-1, ② ①-②,得1nbn=bn+1-bn,得bn+1n+1=bnn,故bn=n. (2)由(1)知anbn=n12n-2=n2n-2. 故Tn=12-1+220+…+n2n-2, 则12Tn=120+221+…+n2n-1. 以上两式相减,得12Tn=12-1+120+…+12n-2-n2n-1=21-12n1-12-n2n-1,故Tn=8-n+22n-2. 11.(15分)设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*), ①求Tn; ②证明∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n∈N*). (1)解设等比数列{an}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故an=2n-1. 设等差数列{bn}的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4. 由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16, 从而b1=1,d=1,故bn=n. 所以,数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=n. (2)①解由(1),有Sn=1-2n1-2=2n-1, 故Tn=∑k=1n(2k-1)=∑k=1n2k-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2. ②证明因为(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)=k2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1, 所以,∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=233-222+244-233+…+2n+2n+2-2n+1n+1=2n+2n+2-2.