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课时作业(十四) 第14讲 导数与函数的单调性
时间 / 45分钟 分值 / 100分
基础热身
1.函数f(x)=x2-sin x,x∈0,π2的单调递减区间是( )
A.0,π6 B.0,π3
C.π6,π2 D.π3,π2
2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 ( )
A.f(x)=sin 2x B.g(x)=x3-x
C.h(x)=xex D.m(x)=-x+ln x
图K14-1
3.已知函数y=-xf(x)的图像如图K14-1所示,其中f(x)是函数f(x)的导函数,则函数y=f(x)的大致图像可以是( )
A B
C D
图K14-2
4.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(1-x)f(x)≥0,则必有 ( )
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)>2f(1)
D.f(0)+f(2)≥2f(1)
5.[2019贵港联考] 若函数f(x)=kx-2ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 .
能力提升
6.[2019甘肃静宁一中模拟] 已知函数f(x)=x2+ax,若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,8)
B.(-∞,16]
C.(-∞,-8)∪(8,+∞)
D.(-∞,-16]∪[16,+∞)
7.[2018浙江台州中学模拟] 当0
0.若a=12fπ3,b=0,c=-32f5π6,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a3ln x+1的解集为 .
14.(12分)已知函数f(x)=12ax2+2x-ln x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)存在单调递增区间,求实数a的取值范围.
15.(13分)[2019日照期中] 已知函数f(x)=kx-kx-2ln x.
(1)若函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为2x+5y-2=0,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,求实数k的取值范围.
难点突破
16.(5分)[2018昆明一模] 已知函数f(x)=(x2-2x)ex-aln x(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则a的最大值是 ( )
A.-e B.e
C.-e22 D.4e2
17.(5分)已知函数f(x)=x-2(ex-e-x),则不等式f(x2-2x)>0的解集为 .
课时作业(十四)
1.B [解析] f(x)=12-cos x,x∈0,π2,令f(x)<0,得x∈0,π3,故f(x)在0,π2上的单调递减区间为0,π3,故选B.
2.C [解析] 显然f(x)=sin 2x在(0,+∞)上不是增函数,不符合题意.
由g(x)=3x2-1<0,得-330时,h(x)>0,所以h(x)=xex在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
由m(x)=-1+1x<0,得x>1,所以m(x)=-x+ln x在(1,+∞)上单调递减,不符合题意.
故选C.
3.A [解析] 由函数y=-xf(x)的图像可得:
当x<-1时,f(x)<0,f(x)是减函数;
当-10,f(x)是增函数;
当00,f(x)是增函数;
当x>1时,f(x)<0,f(x)是减函数.
由此得到函数y=f(x)的大致图像可以是选项A.
4.B [解析] (1-x)f(x)≥0.
若f(x)=0恒成立,则f(x)为常函数,则f(0)+f(2)=2f(1).
若f(x)=0不恒成立,
则当x<1时,f(x)≥0,f(x)单调递增,当x>1时,f(x)≤0,f(x)单调递减,
∴f(0)0,
从而可得f(x)>0,函数f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x2)0,所以f(x2)0,解得x<-43或x>0,
∴函数f(x)的单调递增区间是-∞,-43,(0,+∞).
9.A [解析] 设g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex,由f(x)0,即f(x)0在(0,π)上恒成立,
所以g(x)=f(x)cos x-f(x)sin x>0在(0,π)上恒成立,
所以g(x)在(0,π)上单调递增,
所以gπ34-3,即g(ln x)>g(1),
由g(x)的单调性可得ln x<1,解得00,f(x)单调递增.
所以f(x)的单调递减区间为0,13,单调递增区间为13,+∞.
(2)f(x)=12ax2+2x-ln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),
f(x)=ax+2-1x=ax2+2x-1x(a∈R).
因为函数f(x)存在单调递增区间,所以f(x)>0在区间(0,+∞)上有解,
即ax2+2x-1>0在区间(0,+∞)上有解.
分离参数得a>1-2xx2,令g(x)=1-2xx2,则只需a>g(x)min即可.
因为g(x)=1-2xx2=1x-12-1,所以g(x)min=-1,
即所求实数a的取值范围为(-1,+∞).
15.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=k+kx2-2x=kx2-2x+kx2.
由题意可知f(1)=2k-2=-25,解得k=45,
所以f(x)=4x2-10x+45x2=2(2x-1)(x-2)5x2.
由f(x)>0,得02,由f(x)<0,得120,ex>0,
令h(x)>0,可得x>1;令h(x)<0,可得0f(0),
结合函数f(x)的单调性可得x2-2x<0,
解得0
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