江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案.doc

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第2讲　三角恒等变换与解三角形 [考情考向分析]　正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视． 热点一　三角恒等变换 例1　(1)若cos＝，则cos＝________. 答案　－ 解析　∵cos＝， ∴cos＝sin＝sin＝， ∴cos＝1－2sin2＝－. (2)在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α，角α＋的终边经过点P(－2,1)． ①求cos α的值； ②求cos的值． 解　①由于角α＋的终边经过点P(－2,1)， 故cos＝－，sin＝， ∴cos α＝cos ＝coscos＋sinsin＝－. ②sin α＝sin ＝sincos－cossin＝， 则sin 2α＝2sin αcos α＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝－， cos＝coscos 2α＋sin sin 2α＝. 思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1　(1)已知cos＝3sin，则tan＝________. 答案　2－4 解析　∵cos＝3sin， ∴－sin α＝－3sin， ∴sin α＝3sin＝3sin αcos＋3cos αsin ＝sin α＋cos α， ∴tan α＝， 又tan＝tan＝ ＝＝2－， ∴tan＝ ＝＝2－4. (2)(2018江苏如东中学等五校联考)已知α∈，且cos＝，则sin α的值是________． 答案　 解析　∵α∈，∴α－∈， 给合同角三角函数基本关系式有： sin＝＝， 则sin α＝sin ＝sincos＋cossin ＝＋＝. 热点二　正弦定理、余弦定理 例2　(2018江苏泰州中学调研)如图，在圆内接△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acos C＋ccos A＝2bcos B. (1)求B的大小； (2)若点D是劣弧AC上一点，AB＝3，BC＝2，AD＝1，求四边形ABCD的面积． 解　(1)方法一　设外接圆的半径为R，则a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入得2Rsin Acos C＋2Rsin Ccos A＝22Rsin Bcos B， 即sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B， 所以sin B＝2sin Bcos B. 所以sin B≠0，所以cos B＝. 又B是三角形的内角， 所以B＝. 方法二　根据余弦定理，得a＋c＝2bcos B， 化简得cos B＝. 因为00，∴sin A＝. 由余弦定理得cos A＝＝＝>0， ∴cos A＝，bc＝＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝＝. 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C，并且a＝，则△ABC的面积为________． 答案　 解析　因为00， 并结合sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝，cos C＝. 于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝，得c＝. 故△ABC的面积S＝acsin B＝. 5．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为. (1)求ω的值； (2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域． 解　(1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1) ＝sin－， 因为函数f(x)的最小正周期为T＝＝， 所以ω＝. (2)由(1)知f(x)＝sin－， 易得f(A)＝sin－. 因为sin B，sin A，sin C成等比数列， 所以sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc， 所以cos A＝＝ ≥＝(当且仅当b＝c时取等号)． 因为00)， 则cos C＝＝－， 又∵C∈(0，π)， ∴sin C＝. 当BC＝1时，AC＝， ∴S△ABC＝1＝. 8.如图，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且DE＝，则BE2＝________. 答案　＋ 解析　如图，连结CD，由题设，有∠BDC＝2A， 所以＝＝， 故CD＝. 又DE＝CDsin A＝＝， 所以cos A＝，而A∈(0，π)，故A＝， 因此△ADE为等腰直角三角形， 所以AE＝DE＝. 在△ABC中，∠ACB＝， 所以＝， 故AB＝＋1， 在△ABE中，BE2＝(＋1)2＋2－2(＋1)＝＋. 9．(2018江苏)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解　(1)因为tan α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α. 又因为sin2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝， 所以tan 2α＝＝－. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝＝－. 10．(2018江苏扬州中学调研)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(1,2)，n＝，且mn＝1. (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝2a＝2，求sin的值． 解　(1)由题意得mn＝cos 2A＋2cos2＝2cos2A－1＋cos A＋1＝2cos2A＋cos A， 又因为mn＝1，所以2cos2A＋cos A＝1， 解得cos A＝或cos A＝－1， ∵0， ∴0， ∴>＋＝2， 即>2. ∴的取值范围是(2，＋∞)． 13．在锐角△ABC中，角A所对的边为a，△ABC的面积S＝，给出以下结论： ①sin A＝2sin Bsin C； ②tan B＋tan C＝2tan Btan C； ③tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C； ④tan Atan Btan C有最小值8. 其中正确结论的个数为________． 答案　4 解析　由S＝＝absin C，得a＝2bsin C， 又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正确； 由sin A＝2sin Bsin C， 得sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 两边同时除以cos Bcos C， 可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正确； 由tan(A＋B)＝， 且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C， 所以＝－tan C， 整理移项得tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，故③正确； 由tan B＋tan C＝2tan Btan C， tan A＝－tan(B＋C)＝， 且tan A，tan B，tan C都是正数， 得tan Atan Btan C＝tan Btan C ＝tan Btan C＝， 设m＝tan Btan C－1，则m>0， tan Atan Btan C＝ ＝2＋4≥4＋4＝8， 当且仅当m＝tan Btan C－1＝1， 即tan Btan C＝2时取“＝”， 此时tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4， 所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正确． 14．已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos θ，sin θ)，若f(x)＝ab，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称． (1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积． 解　(1)f(x)＝ab＝sin 2xcos θ＋cos 2xsin θ ＝sin(2x＋θ)， ∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称， ∴2＋θ＝kπ＋，k∈Z， ∴θ＝kπ＋，k∈Z， 又|θ|<，∴θ＝. ∴f(x)＝sin. 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)∵f(A)＝sin＝， ∴sin＝1. ∵A∈(0，π)， ∴2A＋∈， ∴2A＋＝，∴A＝. 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝25＋12－252cos＝7， ∴a＝. 设△ABC外接圆的半径为R， 由正弦定理得＝2R＝＝2， ∴R＝， ∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π.