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第15讲 导数与函数的极值、最值
1.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.
3.实际应用题
理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.
常用结论
导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:
不等式类型
与最值的关系
∀x∈D,f(x)>M
∀x∈D,f(x)min>M
∀x∈D,f(x)
M
∀x∈D,f(x)max>M
∃x0∈D,f(x0)g(x)
∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0
∀x∈D,f(x)g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)min>g(x2)max
(续表)
不等式类型
与最值的关系
∀x1∈D1,∃x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)min>g(x2)min
∃x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)max
∃x1∈D1,∃x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)min
(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为 .
2.[教材改编] 函数f(x)=x3-12x在区间[-3,3]上的最大值是 .
3.[教材改编] 当x>0时,ln x,x,ex的大小关系是 .
4.[教材改编] 现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是 .
题组二 常错题
◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.
5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b= .
6.函数g(x)=-x2的极值点是 ,函数f(x)=(x-1)3的极值点 (填“存在”或“不存在”).
7.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是 ,在(1,2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”).
8.对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立,则实数a的取值范围是 ;存在实数x0,使不等式sin x0≤a成立,则实数a的取值范围是 .
探究点一 利用导数解决函数的极值问题
微点1 由图像判断函数极值
例1 [2018杭州二中模拟] 如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是 ( )
图2-15-1
A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点
B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点
C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点
D.h(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极值点
[总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.
微点2 已知函数求极值
例2 若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则( )
A.f(x)有极大值-1
B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0
D.f(x)有极小值0
[总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f(x)=0的根;③判断在f(x)=0的根的左、右两侧f(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.
微点3 已知极值求参数
例3 [2018江西九校二联] 若函数f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.0,62 B.1,62
C.-62,62 D.63,1∪1,62
[总结反思] 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).
应用演练
1.【微点1】[2018河南中原名校质检] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数f(x)的大致图像如图2-15-2所示,则下列叙述正确的是 ( )
①f(b)>f(a)>f(c);
图2-15-2
②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;
③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值.
A.③
B.①②
C.①③
D.②
2.【微点3】函数f(x)=x2-aln x(a∈R)不存在极值点,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
3.【微点2】[2018安庆二模] 已知函数f(x)=2ef(e)ln x-xe(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为( )
A.2e-1 B.-1e
C.1 D.2ln 2
4.【微点3】[2018菏泽模拟] 已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是 ( )
A.-9,-154 B.-9,-154
C.-154,+∞ D.(-∞,-9)
探究点二 利用导数解决函数的最值问题
例4 已知定义在正实数集上的函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.
(1)若函数g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上g(x)≤0恒成立,求实数a的最小值;
(2)若a>0时,f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a的取值范围.
[总结反思] (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.
(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.
变式题 (1)已知a≥1-xx+ln x对任意x∈1e,e恒成立,则a的最小值为 ( )
A.1 B.e-2 C.1e D.0
(2)[2018唐山三模] 已知a>0,f(x)=xexex+a,若f(x)的最小值为-1,则a= ( )
A.1e2 B.1e C.e D.e2
探究点三 利用导数研究生活中的优化问题
例5 [2018南京四校联考] 如图2-15-3所示,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着AE,FB修建不锈钢护栏,沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为AD,BC上的动点,EF∥AB,且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.
图2-15-3
(1)若EF=80米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?
(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.
[总结反思] (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.
(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.
变式题 某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低x(0≤x≤21)元,则一个星期增加的销售量为kx2(k>0)件.已知商品单件降低2元时,一个星期的销售量增加24件.(商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本)
(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.
第15讲 导数与函数的极值、最值
考试说明 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
2.会利用导数解决某些实际问题.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)f(x)<0 f(x)>0 (2)f(x)>0 f(x)<0
2.(2)f(a) f(b) f(a) f(b)
对点演练
1.-3 [解析] f(x)=3x2-6x,
令f(x)=3x2-6x=0,得x1=0,x2=2.易知当x∈(-∞,0)时,f(x)>0;当x∈(0,2)时,f(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f(x)>0.
故f(x)在x=2处取得极小值f(2)=8-12+1=-3.
2.16 [解析] 由f(x)=3x2-12=0,得x=2,易知x=-2为函数f(x)的极大值点,故函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值f(x)max=max{f(-2),f(3)}=max{16,-9}=16.
3.ln xx0时,有h(x)>0,h(x)为增函数,
所以x=x0是h(x)的极小值点.故选B.
例2 [思路点拨] 先根据极值的定义求得a的值,再根据导数符号的变化规律确定极值.
A [解析] ∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,∴f(1)=0,即a+11=0,∴a=-1,
∴f(x)=-1+1x=-x+1x,
∴当x>1时,f(x)<0,当00,因此f(x)有极大值f(1)=-1,故选A.
例3 [思路点拨] 函数f(x)有两个极值点,等价于f(x)=0有两个根,换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系及判别式建立不等式(组)求解即可.
B [解析] ∵f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x,
∴f(x)=2(a+1)e2x-2ex+a-1.
∵f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,
∴f(x)=0有两个根.
设t=ex>0,则关于t的方程2(a+1)t2-2t+a-1=0有两个正根,
可得a-12(a+1)>0,22(a+1)>0,4-8(a-1)(a+1)>0,解得10,所以函数f(x)在(-∞,c)与(e,+∞)上单调递增;在(c,e)上,f(x)<0,所以函数f(x)在(c,e)上单调递减.所以f(c)>f(a),①错误;函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,②错误,③正确.故选A.
2.D [解析] f(x)的定义域是(0,+∞),f(x)=2x-ax=2x2-ax.因为f(x)在(0,+∞)上不存在极值点,所以2x2=a无正实数根,因为2x2>0,所以a≤0,故选D.
3.D [解析] ∵f(x)=2ef(e)x-1e,∴f(e)=2ef(e)e-1e,∴f(e)=1e,∴f(x)=2ln x-xe,f(x)=2x-1e.由f(x)=0,得x=2e,∴f(x)的极大值为f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,故选D.
4.B [解析] f(x)=3x2-a.
当a≤0时,f(x)≥0,f(x)无极值.
当a>0时,易得f(x)在x=-a3处取得极大值,则有f-a3=4,可得a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,则g(x)=3x2+(m-3).
当m-3≥0时,g(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.
当m-3<0时,易知g(x)在x=3-m3处取得极小值,
依题意有-3<3-m3<2,g3-m3≤m-1,解得-90),则h(x)=1-lnx-1x2=-lnxx2,
所以当00,h(x)单调递增,当x>1时,h(x)<0,h(x)单调递减,
因此h(x)max=h(1)=1,所以a+2≥1,可得a≥-1,
所以实数a的最小值为-1.
(2)f(x)=2ax-(a+2)+1x=(ax-1)(2x-1)x(x>0,a>0),由f(x)=0,得x=12或x=1a.
当a≥1时,1a≤1,因为x∈[1,e],所以f(x)≥0,f(x)单调递增,f(x)min=f(1)=-2,符合题意;
当1e0,
则g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
又g(-1)=1e>0,x→-∞时,g(x)→-∞,所以存在x0<-1,使g(x0)=0,
即ex0+ax0+a=0①,所以f(x0)=0,
所以函数f(x)在(-∞,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,
则f(x)的最小值为f(x0)=x0ex0ex0+a=-1,即x0ex0=-ex0-a②.
联立①②,可得x0=-2.
把x0=-2代入①,可得a=1e2,故选A.
例5 [思路点拨] (1)设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接O1E,O2F,O1O2,则阴影部分的面积为矩形AO1O2B的面积减去三部分的面积,这三部分分别为梯形O1O2FE,扇形O1AE和扇形O2FB;(2)设∠AO1E=θ,θ∈0,π2,将修建费用表示为θ的函数,即可利用导数求最小值.
解:(1)如图所示,设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接O1E,O2F,O1O2,则ME=20米,O1M=203米.
梯形O1O2FE的面积为12(120+80)203=20003(平方米),
矩形AO1O2B的面积为12040=4800(平方米),
易得∠AO1E=π6,则扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为12π61600=400π3(平方米),
故阴影部分的面积为4800-20003-800π3平方米.
(2)设∠AO1E=θ,θ∈0,π2,则AE与BF的长都是40θ,
EF=120-240sin θ=120-80sin θ,
所以修建费用f(θ)=20080θ+400(120-80sin θ)=16 000(θ+3-2sin θ),
所以f(θ)=16 000(1-2cos θ).
令f(θ)=0,得θ=π3,
当θ变化时,f(θ),f(θ)的变化情况如下表:
θ
0,π3
π3
π3,π2
f(θ)
-
0
+
f(θ)
↘
极小值
↗
由上表可得,当θ=π3,即∠AO1E=π3时,f(θ)有极小值,也为最小值.
故当∠AO1E为π3时,修建费用最低.
变式题 解:(1)若商品单价降低x元,则一个星期增加的销售量为kx2件,
由已知条件得k22=24,解得k=6,
则f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21].
(2)由(1)知f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).
令f(x)=0,解得x=2或x=12.
当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f(x)
-
0
+
0
-
f(x)
9072
↘
极小值
↗
极大值
↘
0
∴当x=12时,f(x)取得极大值;当x=2时,f(x)取得极小值.
∵f(0)=9072,f(12)=11 664,
∴当x=12时,f(x)max=11 664,
故定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.
【备选理由】 例1主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数极值的个数;例2是已知极值点的个数求参数取值范围,并考查了化归与转化思想及计算能力,属于中档题;例3的两问都是利用导数解决函数的最值问题,而对于不等式恒成立问题要善于转化为函数的最值问题;例4为利用导数研究生活中的优化问题.
例1 [配合例2使用] [2018丹东二模] 设f(x)=12x2-x+cos(1-x),则函数f(x) ( )
A.有且仅有一个极小值 B.有且仅有一个极大值
C.有无数个极值 D.没有极值
[解析] A 由f(x)=12x2-x+cos(1-x),得f(x)=x-1+sin(1-x).
设g(x)=x-1+sin(1-x),则g(x)=1-cos(1-x)≥0,即g(x)为增函数,
又g(1)=0,
所以当x∈(-∞,1)时,g(x)<0,f(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,f(x)>0,f(x)单调递增.
又f(1)=0,
所以函数f(x)有且仅有一个极小值f(1).
故选A.
例2 [配合例3使用] 若函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点,则实数a的取值范围是 .
[答案] -120),f(x)=ln x+1+2ax.令g(x)=ln x+1+2ax,因为函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点,所以g(x)=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的实数根.g(x)=1x+2a=1+2axx,
当a≥0时,g(x)>0,则函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,因此g(x)=0在区间(0,+∞)上不可能有两个不相等的实数根,应舍去.
当a<0时,
由g(x)>0,得0-12a,此时函数g(x)单调递减.
所以当x=-12a时,函数g(x)取得极大值.要使g(x)=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的实数根,
则g-12a=ln-12a>0,可得-122时,f(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当a∈[0,1)时,函数g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x>2)有最小值,设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
解:(1)因为f(x)=(x-4)ex-2+mx≥0对任意x∈(2,+∞)恒成立,
所以x-4xex-2≥-m对任意x∈(2,+∞)恒成立.设φ(x)=x-4xex-2=1-4xex-2,则φ(x)=1-4x+4x2ex-2=(x-2)2x2ex-2≥0,所以φ(x)在(2,+∞)上单调递增,
所以φ(x)>φ(2)=-1,则由题意得-m≤-1,即m≥1,
所以实数m的取值范围为[1,+∞).
(2)对g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x>2)求导,得g(x)=(x-4)ex-2+ax(x-2)3=x(x-4)ex-2x+a(x-2)3(x>2).
记F(x)=x-4xex-2+a(x>2),
由(1)知F(x)在区间(2,+∞)上单调递增,又F(2)=-1+a<0,F(4)=a≥0,
所以存在唯一正实数x0∈(2,4],使得F(x0)=x0-4x0ex0-2+a=0.
所以当x∈(2,x0)时,F(x)<0,g(x)<0,函数g(x)在区间(2,x0)上单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,F(x)>0,g(x)>0,函数g(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
所以g(x)在(2,+∞)上有最小值g(x0)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2,
由题设得h(a)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2.
又因为-a=x0-4x0ex0-2,所以h(a)=1x0ex0-2.
令u(x)=1xex-2(20,函数u(x)在区间(2,4]上单调递增,
所以u(2)0,V是增函数;
当23
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第15讲
导数与函数的极值学案
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