（通用版）2020版高考数学大一轮复习 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案 理 新人教A版.docx
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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1.简单的逻辑联结词 命题中的 、 、 叫作逻辑联结词,分别表示为 、 、 . 2.全称量词与存在量词 (1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作 ,用符号“ ”表示. (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作 ,用符号“ ”表示. (3)含有一个量词的命题的否定: 全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是 . 特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是 . 常用结论 1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论. 2.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反. 3.命题p∧q的否定是(p)∨(q);命题p∨q的否定是(p)∧(q). 题组一 常识题 1.[教材改编] 命题p:x∈R,x2+1≥0,命题q:函数y=ax2+x的图像是抛物线,则p∨q是 命题,p∧(q)是 命题,(p)∨(q)是 命题,(p)∧(q)是 命题.(以上各空填“真”或“假”) 2.[教材改编] 命题“∃x0∈R,log2x0+2<0”的否定是 . 3.[教材改编] 命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是 . 4.[教材改编] 在一次驾照考试中,甲、乙两名学员各试驾一次.设p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为 . 题组二 常错题 ◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;判断命题真假时忽视对参数的讨论. 5.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 . 6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是 .(填序号) ①(p)∨q;②p∧q;③(p)∧(q);④(p)∨(q). 7.已知命题“若ab=0,则a=0或b=0”,则其否命题为 . 8.已知p:∀x∈R,ax2+4x+1>0,则p: .若p是假命题,则实数a的取值范围是 . 探究点一 含逻辑联结词的命题及其真假 例1 (1)在一次射击训练中,甲、乙两位运动员各射击一次.设命题p是“甲击中目标”,q是“乙击中目标”,则命题“两位运动员都没有击中目标”可表示为 ( ) A.(p)∨(q) B.p∨(q) C.p∨q D.(p)∧(q) (2)[2018福建三明5月质检] 已知函数f(x)=cos2x+π3.命题p:f(x)的图像关于点-π12,0对称,命题q:f(x)在区间-π6,0上为减函数,则 ( ) A.p∧q为真命题 B.(p)∧q为假命题 C.p∨q为真命题 D.(p)∨q为假命题 [总结反思] 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤: (1)判断复合命题的结构; (2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假; (3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可. 变式题 (1)[2018太原三模] 设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=π2对称,则下列结论正确的是 ( ) A.p为假命题 B.q为假命题 C.p∨q为假命题 D.p∧q为假命题 (2)已知命题p:方程ex-1=0有实数根,命题q:不等式x2-x+1≤0有解,则p∧q,p∨q,(p)∨q,p∧(q)这四个命题中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 探究点二 全称命题与特称命题 例2 (1)命题p:对任意x∈R,都存在m>1,使得mx>ex成立,则p为 ( ) A.对任意x∈R,都存在m>1,使得mx≤ex成立 B.对任意x∈R,不存在m>1,使得mx>ex成立 C.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0≤ex0成立 D.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0>ex0成立 (2)[2018大同质检] 下列说法正确的是( ) A.命题“∃x0∈R且x0≠1,1x0-1<0”的否定是“∀x∈R,1x-1≥0” B.∀x>0,ln(x+1)>0 C.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 D.∀x∈R,2x>x2 [总结反思] (1)全称命题与特称命题的否定: ①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写. ②否定结论:对原命题的结论进行否定. (2)全称命题与特称命题真假的判断方法: 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 变式题 [2018西安质检] 已知命题p:∃x0∈R,log2(3x0+1)≤0,则 ( ) A.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0 B.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0 探究点三 根据命题的真假求参数的取值范围 例3 (1)已知命题p:∃x0∈[1,e],ln x0-a≥0,若p是真命题,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,e) D.(1,+∞) (2)已知命题p:∃x0∈R,mx02+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.[-2,0) C.(0,2) D.(-2,0) [总结反思] 根据命题真假求参数的方法步骤: (1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 变式题 (1)若命题“∀x∈(0,+∞),x+1x≥m”是假命题,则实数m的取值范围是 . (2)设p:∃x0∈1,52,g(x0)=log2(tx02+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为 . 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考试说明 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义; 2.理解全称量词与存在量词的意义; 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【课前双基巩固】 知识聚焦 1.“且” “或” “非” ∧ ∨ 2.(1)全称量词 ∀ (2)存在量词 ∃ (3)∃x0∈M,p(x0) ∀x∈M,q(x) 对点演练 1.真 真 真 假 [解析] 命题p是真命题,当a=0时,函数图像是直线,所以命题q是假命题,所以p是假命题,q是真命题,所以p∨q是真命题,p∧(q)是真命题,(p)∨(q)是真命题,(p)∧(q)是假命题. 2.∀x∈R,log2x+2≥0 [解析] 这是一个特称命题,特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,再将结论否定,所以命题的否定是“∀x∈R,log2x+2≥0”. 3.有些表面积相等的三棱锥体积不相等 [解析] 命题为全称命题,即“所有表面积相等的三棱锥体积相等”,所以其否定是“有些表面积相等的三棱锥体积不相等”. 4.(p)∨(q) [解析] p:甲没有试驾成功,q:乙没有试驾成功,所以“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为(p)∨(q). 5.“存在一个奇数,它的立方不是奇数” [解析] 利用全称命题的否定是特称命题即可得出. 6.④ [解析] 显然命题p为真命题,命题q为假命题,从而只有(p)∨(q)为真命题. 7.若ab≠0,则a≠0且b≠0 8.∃x0∈R,ax02+4x0+1≤0 (-∞,4] [解析] 根据全称命题的否定为特称命题,得p:∃x0∈R,ax02+4x0+1≤0.若p为假命题,则p是真命题,所以a≤0或a>0,Δ=16-4a≥0,解得a≤0或0
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