（全国通用版）2019高考数学二轮复习 12＋4分项练6 数列 理.doc

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12＋4分项练6　数　列 1．(2018烟台模拟)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为(　　) A．3n＋1 B．3n－1 C. D. 答案　C 解析　∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1， ∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1， 又数列{an}为等比数列， ∴数列{an}的公比q＝3，且an≠0， ∴bn＋1－bn＝＝3， ∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列， ∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋3＝. 2．(2018大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　) A．27 B．31 C．63 D．75 答案　C 解析　由题意得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， 所以3,12，S6－15成等比数列， 所以122＝3(S6－15)，解得S6＝63. 3．(2018河南省南阳市第一中学模拟)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于(　　) A．15 B．19 C．21 D．30 答案　B 解析　设等差数列{an}的公差为d， 因为S3＝a，所以3a2＝a， 解得a2＝0或a2＝3， 又因为S1，S2，S4构成等比数列， 所以S＝S1S4， 所以(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)， 若a2＝0，则d2＝－2d2， 此时d＝0，不符合题意，舍去， 当a2＝3时，可得(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d＝2(d＝0舍去)， 所以a10＝a2＋8d＝3＋82＝19. 4．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 答案　C 解析　∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值， ∴d>0，a1<0，{an}为递增数列． ∵<－1， ∴a8a9<0，a8＋a9>0， 由等差数列的性质知，2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0. ∵Sn＝， ∴当Sn>0时，n的最小值为16. 5．(2018三明质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于(　　) A．255 B．256 C．510 D．511 答案　C 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，据此可得a1＝2， 当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2， 两式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1， 据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 其前8项和为S8＝＝29－2＝512－2＝510. 6．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝2－2(－1)n，n∈N*，则S2 017的值为(　　) A．2 0161 010－1 B．1 0092 017 C．2 0171 010－1 D．1 0092 016 答案　C 解析　由递推公式，可得 当n为奇数时，an＋2－an＝4，数列{an}的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列， 当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{an}的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S2 017＝(a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 016) ＝1 009＋1 0091 0084＋1 0082 ＝2 0171 010－1. 7．(2018南充质检)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a56等于(　　) A．－ B．0 C. D. 答案　A 解析　因为an＋1＝(n∈N*)， 所以a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，a6＝，…， 故此数列的周期为3. 所以a56＝a183＋2＝a2＝－. 8．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是(　　) A．72.705尺 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺 答案　B 解析　因为每竹节间的长相差0.03尺， 设从地面往上，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30， 所以{an}是以a1＝0.5为首项，以d1＝0.03为公差的等差数列， 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺， 设从地面往上，每节圈长为b1，b2，b3，…，b30， 由{bn}是以b1＝1.3为首项，d＝－0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是 S30＝＋＝61.395. 9．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为(　　) A．12 B．9 C．6 D．18 答案　D 解析　因为S3－S2＝a3， 所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3， 设等比数列{an}的公比为q，则a1＝， 由于{an}的各项为正数，所以q>1. a4＋3a2＝a1q3＋3a1q ＝a1q(q2＋3)＝q(q2＋3) ＝＝3≥18， 当且仅当q－1＝2， 即q＝3时，a4＋3a2取得最小值18. 10．已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{cn}，令xn＝，则的取值范围为(　　) A．[1,2) B．(1，e) C. D. 答案　C 解析　由题意知，{an}，{bn}的共同项为2,8,32,128，…，故cn＝22n－1. 由xn＝， 得＝1＋， ＝…. 令Fn＝， 则当n≥2时，＝>1， 故数列{Fn}是递增数列， ∴≥. ∵当x>0时，ln(1＋x)2 018的最小整数，则n0的值为(　　) A．305 B．306 C．315 D．316 答案　D 解析　由题意，an＝， 当n＝1时，可得a1＝0，(1项) 当21≤n<22时，可得a2＝a3＝1，(2项) 当22≤n<23时，可得a4＝a5＝…＝a7＝2，(4项) 当23≤n<24时，可得a8＝a9＝…＝a15＝3，(8项) 当24≤n<25时，可得a16＝a17＝…＝a31＝4，(16项) ……， 当2k≤n<2k＋1时， 可得a2k＝a2k＋1＝…＝a2k＋1－1＝k，(2k项) 当2k≤n<2k＋1时， 前n项和Sn＝121＋222＋…＋k2k， 2Sn＝122＋223＋…＋k2k＋1， 所以－Sn＝2＋22＋23＋…＋2k－k2k＋1， 所以Sn＝(k－1)2k＋1＋2. 由Sn>2 018，得k≥8. 当k＝7时，Sn＝1 538<2 018； 当k＝8时，Sn＝3 586>2 018， 所以取k＝7，且2 018－1 538＝480， 所以n0＝＋＋1＝316. 13．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则a3－r＝________，数列的最大项是第k项，则k＝________. 答案　19　4 解析　等比数列前n项和公式具有的特征为 Sn＝aqn－a，据此可知，r＝－1， 则Sn＝3n－1，a3＝S3－S2＝－＝18， a3－r＝19. 令bn＝nn，且bn>0， 则＝， 由＝>1可得n2<10， 由＝<1可得n2>10， 据此可得，数列中的项满足b1b5>b6>b7>b8>…，则k＝4. 14．(2018上饶模拟)已知等比数列{an}的首项是1，公比为3，等差数列{bn}的首项是－5，公差为1，把{bn}中的各项按如下规则依次插入到{an}的每相邻两项之间，构成新数列：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在an和an＋1两项之间依次插入{bn}中n个项，则c2 018＝________.(用数字作答) 答案　1 949 解析　由题意可得，an＝3n－1， bn＝－5＋(n－1)1＝n－6， 由题意可得，数列{cn}中的项为30，－5,31，－4，－3,32，－2，－1,0,33，…，3n时， 数列{cn}的项数为1＋2＋…＋n＋(n＋1)＝， 当n＝62时，＝2 016，即此时共有2 016项，且第2 016项为362， ∴c2 018＝b1 955＝1 955－6＝1 949. 15．(2018大连模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝2，a3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n，则S60＝________.(用数字作答) 答案　264 解析　因为a3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n， 所以a3n＋a3n＋1＋a3n＋2＝n＋1， 因此(a3＋a4＋a5)＋(a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59)＝2＋3＋…＋20＝209， 因为a3n＝2n－2an，a3n＋2＝an－n， 所以a60＝a320＝220－2a20，a20＝a36＋2＝a6－6， a6＝a32＝22－2a2＝0， 所以a20＝－6，a60＝52， 综上，S60＝1＋2＋209＋52＝264. 16．数列{an}满足a1＝，an＋1＝a－an＋1(n∈N*)，则＋＋…＋的整数部分是________． 答案　2 解析　因为a1＝，an＋1＝a－an＋1(n∈N*)， 所以an＋1－an＝(an－1)2>0， 所以an＋1>an，数列{an}单调递增， 所以an＋1－1＝an(an－1)>0， 所以＝＝－， 所以＝－， 所以Sn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝－， 所以m＝S2 017＝3－， 因为a1＝，所以a2＝2－＋1＝， a3＝2－＋1＝， a4＝2－＋1>2，…， 所以a2 018>a2 017>a2 016>…>a4>2， 所以a2 018－1>1，所以0<<1， 所以2<3－<3， 因此m的整数部分是2.