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阶段滚动检测（二）
一、选择题
1.(2019绍兴一中模拟)已知集合M＝{x|0≤x≤6}，N＝{x|2x≤32}，则M∪N等于( )
A.(－∞，6] B.(－∞，5]
C.[0,6] D.[0,5]
2.(2019舟山模拟)已知a∈R，则“a＝0”是“f(x)＝x2＋ax是偶函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2019湖州模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
①f(x)＝sinx； ②f(x)＝－2x3；
③f(x)＝1－x； ④f(x)＝ln(＋x).
以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
4.已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是( )
A.(1,2) B.(1,2]
C.(1,3) D.(1,4)
5.函数f(x)＝的图象为( )
6.函数f(x)＝x4＋(2a－3)x2，则f(x)在其图象上的点(1，－2)处的切线的斜率为( )
A.1B.－1C.2D.－2
7.已知函数f(x)＝ex－1＋e1－x，则满足f(x－1)
b>1，且logab＋logba2＝，则logba＝________，＝________.
13.设函数f(x)＝则f(f(4))＝________.若f(a)＝－1，则a＝________.
14.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是________.
15.已知f(x)＝若f(x)＝x＋a有两个零点，则实数a的取值范围是________.
16.已知函数f(x)＝
①若f(x)＝a有且只有一个根，则实数a的取值范围是________；
②若关于x的方程f(x＋T)＝f(x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是________.
17.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0，若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是________.
三、解答题
18.已知集合A＝，B＝.
(1)若C＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围；
(2)若D＝{x|x＞6m＋1}，且(A∪B)∩D＝∅，求实数m的取值范围.
19.(2018北京)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围.
20.已知函数f(x)＝x－alnx，g(x)＝－(a∈R).
(1)若a＝1，求函数f(x)的极值；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间.
21.已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，
(1)求f(x)的表达式；
(2)设g(x)＝f(2x)－m2x＋1，其中x∈[0,1]，m为常数且m∈R，求函数g(x)的最小值.
22.(2019绍兴柯桥区模拟)已知函数f(x)＝xlnx－x2＋x＋1.
(1)若y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求a的取值范围；
(2)当02.
答案精析
1.A 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.C 9.C 10.B
11.[0,2] (2，＋∞) 12.3 1 13.5 1或
解析 f(f(4))＝f(－31)＝log232＝5；
由f(a)＝－1，得或
所以a＝1或a＝.
14.
解析 因为函数f(x)在R上无极值点，
所以f′(x)＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，
即Δ＝22－43m≤0，所以m≥.
15.[1，＋∞)
解析 作出两个函数的图象如图所示，当直线y＝x＋a经过点(0,1)时，此时a＝1，直线和函数y＝f(x)的图象显然有两个交点.
当a>1时，直线和函数y＝f(x)的图象显然有两个交点.
当直线y＝x＋a经过点(1,0)时，此时a＝－1，
设g(x)＝ln x(x≥1)，∴g′(x)＝，
∴k＝g′(1)＝1，
所以在(1,0)处的切线方程为y－0＝1(x－1)＝x－1，刚好是直线y＝x＋a，
所以此时直线和函数的图象只有一个交点，
当a＜－1时，观察图象得直线和函数的图象只有一个交点，
故当a≥1时，f(x)＝x＋a有两个零点.
故实数a的取值范围为[1，＋∞).
16.①(1，＋∞) ②(－4，－2)∪(2,4)
解析 ①作出函数f(x)的图象，f(x)＝a有且只有一个根等价于y＝f(x)的图象与y＝a只有一个交点，
故可得a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)；②方程f(x＋T)＝f(x)有且仅有3个不同的实根等价于y＝f(x＋T)的图象与y＝f(x)的图象有3个交点，而y＝f(x＋T)的图象是将y＝f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位长度，故可得T的取值范围是(－4，－2)∪(2,4).
17.(－3,1)
解析 ∵函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0，
∴f′(x)＝3x2－3a，
∵函数f(x)在x＝－1处取得极值，
则f′(－1)＝0，
即3－3a＝0，
解得a＝1，
∴f(x)＝x3－3x－1，a≠0，
f′(x)＝3x2－3
＝3(x2－1)
＝3(x－1)(x＋1).
当f′(x)>0时，得x>1或x<－1，
当f′(x)<0时，－10)，
h′(x)＝1－－＝
＝，
①当a＋1>0，即a>－1时，在(0,1＋a)上h′(x)<0，在(1＋a，＋∞)上h′(x)>0，
所以h(x)在(0,1＋a)上单调递减，
在(1＋a，＋∞)上单调递增；
②当1＋a≤0，即a≤－1时，在(0，＋∞)上h′(x)>0，
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增.
综上，当a>－1时，h(x)的单调递减区间为(0,1＋a)，单调递增区间为(1＋a，＋∞)；
当a≤－1时，h(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.
21.解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
因为f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x，
所以2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
故有即
所以f(x)＝x2－2x－1.
(2)g(x)＝f(2x)－m2x＋1＝(2x)2－(2m＋2)2x－1，设t＝2x，t∈[1,2]，
y＝t2－(2m＋2)t－1＝[t－(m＋1)]2－(m2＋2m＋2)，
当m＋1>2，即m>1时，y＝t2－(2m＋2)t－1在t∈[1,2]时为减函数，
当t＝2时，ymin＝－4m－1；
当m＋1<1，即m<0时，
y＝t2－(2m＋2)t－1在t∈[1,2]上为增函数，当t＝1，ymin＝－2m－2；
当0≤m≤1时，当t＝m＋1，ymin＝－(m2＋2m＋2)，
综上所述：g(x)min＝
22.(1)解 因为f′(x)＝ln x－ax＋2(x>0)，由题意可得f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，得a≥max，x∈(0，＋∞)，
令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，
g′(x)＝，
所以g(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以a≥g＝e，所以a≥e.
(2)证明 函数y＝f(x)－x＝xln x－x2＋1有两个极值点x1，x2(x10)可知，
y＝F(x)在上是增函数，在上是减函数，且0，
构造函数m(x)＝F－F(x)
＝ln－a－(ln x－ax)，
则m′(x)＝－＋2a＝<0，
故m(x)在上单调递减，
又由于0m＝0，
即m(x1)>0在上恒成立，
即F>F(x1)＝F(x2)恒成立.
由于x2>，－x1>，y＝F(x)在上是减函数，
所以x2>－x1，
所以x1＋x2>>2成立.
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