（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 课时12 3.1 变化率与导数、导数的计算夯基提能作业.docx

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3.1　变化率与导数、导数的计算 A组　基础题组 1.曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2e B.e C.2 D.1 答案　C　∵y=xex-1+x(ex-1)=(1+x)ex-1,∴曲线在点(1,1)处切线的斜率为y|x=1=2.故选C. 2.函数f(x)=(2πx)2的导数为(　　) A.f (x)=4πx B.f (x)=4π2x C.f (x)=8π2x D.f (x)=16πx 答案　C　∵f(x)=(2πx)2=4π2x2,∴f (x)=8π2x. 3.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(　　) A.(1,0),(-1,-4) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,-4) 答案　A　设P0(x0,y0).因为 f(x)=x3+x-2,故f (x0)=3x02+1=4,解得x0=1,当x0=1时,y0=0,当x0=-1时,y0=-4,故选A. 4.已知函数f(x)=axn(a,n∈R)的图象在点(1,2)处的切线方程是y=4x-2,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)是偶函数且有最大值 B.函数f(x)是奇函数且有最大值 C.函数f(x)是偶函数且有最小值 D.函数f(x)是奇函数且有最小值 答案　C　对函数f(x)求导得f (x)=anxn-1,则由题意得f(1)=a1n=2,f (1)=an1n-1=4,解得n=2,a=2,则函数为二次函数f(x)=2x2,其图象开口向上,有最小值,且为偶函数.故选C. 5.曲线f(x)=xln x在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为(　　) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案　B　因为f(x)=xln x,所以f (x)=ln x+x1x=ln x+1,所以f (1)=1,所以曲线f(x)=xln x在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为π4. 6.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　D　y=a-1x+1,x=0时,y=a-1=2,∴a=3,故选D. 7.曲线y=ex在点A处的切线与直线x+y+3=0垂直,则点A的坐标为(　　) A.(-1,e-1) B.(0,1) C.(1,e) D.(0,2) 答案　B　与直线x+y+3=0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,对y=ex求导得y=ex,令y=ex=1,解得x=0,此时y=e0=1,即点A的坐标为(0,1),选B. 8.(2018宁波调研)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为(　　) A.2 B.-1 C.1 D.-2 答案　C　对y=x3+ax+b求导得 y=3x2+a,则13+a+b=3,312+a=k,k+1=3, 解得a=-1,b=3,k=2,所以2a+b=1,故选C. 9.(2016课标全国Ⅲ文,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是　　　　. 答案　y=2x 解析　当x>0时,-x<0, f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x. 10.已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为　　　　. 答案　3 解析　∵f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f (0)=3. 11.若曲线y=e-x在点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是　　　　. 答案　(-ln 2,2) 解析　令f(x)=y=e-x,则f (x)=-e-x.令P(x0,y0),则f (x0)=-e-x0=-2,解得x0=-ln 2,所以y0=e-x0=eln 2=2,所以点P的坐标为(-ln 2,2). 12.已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f (x)为f(x)的导函数.若f (1)=3,则a的值为　　　　. 答案　3 解析　∵f (x)=aln x+a,∴f (1)=aln 1+a=3,解得a=3. 13.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是　　　　. 答案　-3 解析　∵y=ax2+bx,∴y=2ax-bx2, 由题意可得4a+b2=-5,4a-b4=-72,解得a=-1,b=-2. ∴a+b=-3. B组　提升题组 1.已知f(x)=14x2+sinπ2+x, f (x)为f(x)的导函数,则f (x)的大致图象是(　　) 答案　A　∵f(x)=14x2+sinπ2+x=14x2+cos x,∴f (x)=12x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D. 又f ″(x)=12-cos x,当-π312,∴f ″(x)<0,故函数y=f (x)在区间-π3,π3上单调递减,故排除C.故选A. 2.(2016课标全国Ⅲ理,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　. 答案　y=-2x-1 解析　令x>0,则-x<0, f(-x)=ln x-3x,又f(-x)=f(x), ∴f(x)=ln x-3x(x>0),则f (x)=1x-3(x>0),∴f (1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1. 3.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　. 答案　8 解析　令f(x)=y=x+ln x,求导得f (x)=1+1x, f (1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y|x=x0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12,又ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-12,此时a=8. 4.已知函数f(x)=aex+x2,g(x)=cos πx+bx,直线l与曲线y=f(x)切于点(0, f(0)),且与曲线y=g(x)切于点(1,g(1)),则a+b=　　　　,直线l的方程为　　　　　　　. 答案　-2;x+y+1=0 解析　f (x)=aex+2x,g(x)=-πsin πx+b, f(0)=a,g(1)=cos π+b=b-1, f (0)=a,g(1)=b, 由题意可得f (0)=g(1),则a=b, 又f (0)=b-1-a1-0=a, 则a=b=-1,a+b=-2, 直线l的方程为x+y+1=0. 5.若直线l与曲线C满足下列两个条件: (i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是　　　　(写出所有正确命题的编号). ①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3; ②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2; ③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x; ④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x; ⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x. 答案　①③④ 解析　①直线l:y=0在P(0,0)处与曲线C:y=x3相切,且曲线C在点P(0,0)附近位于直线l的两侧,①正确;②直线l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在P(-1,0)处的切线,②错;③中y=cos x,cos 0=1,因此曲线C:y=sin x在P(0,0)处的切线为l:y=x,设f(x)=x-sin x,则f (x)=1-cos x≥0,即f(x)是增函数,又f(0)=0,从而当x<0时, f(x)<0⇒x0时, f(x)>0⇒x>sin x,即曲线C:y=sin x在P(0,0)附近位于直线l的两侧,③正确;④中y=sinxcosx=1cos2x,1cos20=1,因此曲线C:y=tan x在P(0,0)处的切线为l:y=x,设g(x)=x-tan x,则g(x)=1-1cos2x≤0-π20),则h(x)=1-1x=x-1x,当01时,h(x)>0,因此当x=1时,h(x)min=h(1)=0,因此曲线C在P(1,0)附近位于直线l的一侧,故⑤错误.因此答案为①③④.