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课时作业(二) 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
时间 / 30分钟 分值 / 80分
基础热身
1.已知a,b∈R,命题“若ab=2,则a2+b2≥4”的否命题是 ( )
A.若ab≠2,则a2+b2≤4
B.若ab=2,则a2+b2≤4
C.若ab≠2,则a2+b2<4
D.若ab=2,则a2+b2<4
2.[2018乌鲁木齐质检] 命题p:若x<0,则ln(x+1)<0,若q是p的逆命题,则 ( )
A.p真,q真 B.p真,q假
C.p假,q真 D.p假,q假
3.[2018马鞍山二中二模] “a3>b3”是“ln a>ln b”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2018北京通州区三模] 已知非零向量a,b,则“ab>0”是“a与b的夹角为锐角”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2018江苏清江中学调研] “φ=π2”是“函数y=sin(x+φ)的图像关于y轴对称”的 条件(填“充分必要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”).
能力提升
6.“若x=a或x=b,则x2-(a+b)x+ab=0”的否命题是 ( )
A.若x≠a且x≠b,则x2-(a+b)x+ab=0
B.若x≠a且x≠b,则x2-(a+b)x+ab≠0
C.若x=a且x=b,则x2-(a+b)x+ab≠0
D.若x=a或x=b,则x2-(a+b)x+ab≠0
7.[2018余姚中学月考] “a=2”是“直线ax+2y-1=0与x+(a-1)y+2=0互相平行”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.[2018北京石景山区一模] “a>b>1”是“loga3
0,a≠1)是减函数,则p是q的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知x,y∈R,那么“x>y”的一个充分必要条件是 ( )
A.2x>2y B.lg x>lg y
C.1x>1y D.x2>y2
12.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|=1”是“S4=2S2”的 条件.
13.[2018北京通州区三模] 能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 .
14.[2018深圳中学月考] 若“x2>1”是“x0”是“S2019>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
16.(5分)[2017宿州质检] 以下4个命题中,真命题的个数是 ( )
①x+y=0的充要条件是xy=-1;
②已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;
③命题p:x≠2或y≠3,命题q:x+y≠5,则p是q的必要不充分条件;
④“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题是假命题.
A.1 B.2 C.3 D.4
课时作业(二)
1.C [解析] 将原命题的条件和结论同时否定之后,可得到原命题的否命题,所以命题“若ab=2,则a2+b2≥4”的否命题是“若ab≠2,则a2+b2<4”,故选C.
2.C [解析] 由ln(x+1)<0,得0ln b⇒a>b>0⇒a3>b3,所以必要性成立;反之,不成立,即充分性不成立.故选B.
4.B [解析] 当ab>0时,a与b的夹角为锐角或零角,不一定是锐角,故充分性不成立;而a与b的夹角为锐角时,有ab>0,必要性成立.故选B.
5.充分不必要 [解析] 若函数y=sin(x+φ)的图像关于y轴对称,则φ=π2+kπ,k∈Z,∴必要性不成立.
若φ=π2,则函数y=sin(x+φ)=cos x的图像关于y轴对称,∴充分性成立,
∴“φ=π2”是“函数y=sin(x+φ)的图像关于y轴对称”的充分不必要条件.
6.B [解析] 根据否命题的定义可知,“若x=a或x=b,则x2-(a+b)x+ab=0”的否命题是“若x≠a且x≠b,则x2-(a+b)x+ab≠0”,故选B.
7.A [解析] 当a=2时,直线方程为2x+2y-1=0与x+y+2=0,可得两直线互相平行;
若直线ax+2y-1=0与x+(a-1)y+2=0互相平行,则a(a-1)=2且2a≠-1,解得a=2或a=-1.故“a=2”是“直线ax+2y-1=0与x+(a-1)y+2=0互相平行”的充分不必要条件,故选A.
8.A [解析] 当a>b>1时,log3a>log3b>0,则1log3a<1log3b⇒loga3b>1或0b>1”是“loga30,a≠1)是减函数,则02y⇔x>y,故“x>y”的一个充分必要条件是2x>2y,故选A.
12.充要 [解析] 因为S4=2S2⇔a1+a2+a3+a4=2(a1+a2)⇔a3+a4=a1+a2⇔q2=1⇔|q|=1,所以“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件.
13.1,0,-1(答案不唯一) [解析] 当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,但不满足a2>ab>c2,∴题中命题是假命题.故答案可为1,0,-1.
14.-1 [解析] 由x2>1,得x<-1或x>1.因为“x2>1”是“x1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.
15.C [解析] 若公比q=1,则a1>0⇔S2019>0;
若q≠1,则S2019=a1(1-q2019)1-q,
∵1-q与1-q2019符号相同,∴a1与S2019的符号相同,
则a1>0⇔S2019>0.∴“a1>0”是“S2019>0”的充要条件,
故选C.
16.B [解析] 对于①,“x+y=0的充要条件是xy=-1”是假命题,比如y=0时,不成立,因此不正确;对于②,其中满足条件的两直线m,n也可以平行,因此不正确;对于③,从等价命题的角度考虑,因为“若x=2且y=3,则x+y=5”是真命题,“若x+y=5,则x=2且y=3”是假命题,所以p⇒q,q⇒/ p,即q⇒p,p⇒/ q,故③正确;对于④,原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,而a=2,b=-2满足a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故④正确.所以选B.
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