(渝皖琼)2018-2019学年高中数学 第1章 立体几何初步滚动训练2 北师大版必修2.doc
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第1章 立体几何初步 滚动训练二(6.1~6.2) 一、选择题 1.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是( ) 考点 直线与平面垂直的性质 题点 根据线面垂直的性质判定线线垂直 答案 A 2.关于直线m,n与平面α,β,有下列四个命题: ①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n; ②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n; ③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n; ④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 D 解析 ①m,n可能异面、相交或平行,④m,n可能平行、异面或相交,所以①④错误. 3.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出如下命题: ①若α⊥β,α∩β=m,nα,n⊥m,则n⊥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ③若α⊥β,m⊥β,m⃘α,则m∥α; ④若α⊥β,m∥α,则m⊥β; 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 B 解析 根据平面与平面垂直的性质知①正确;②中,α,β可能平行,也可能相交,不正确;③中,α⊥β,m⊥β,m⃘α时,只可能有m∥α,正确;④中,m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交,不正确.综上,可知正确命题的个数为2,故选B. 4.如图所示,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考点 直线与平面垂直的性质 题点 根据线面垂直的性质判定线线垂直 答案 A 解析 ∵AB是圆O的直径, ∴∠ACB=90,即BC⊥AC, ∴△ABC是直角三角形. 又∵PA⊥平面ABC, ∴△PAC,△PAB是直角三角形. 又BC平面ABC, ∴PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA,AC平面PAC, ∴BC⊥平面PAC, 又PC平面PAC,∴BC⊥PC, ∴△PBC是直角三角形.从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC都是直角三角形,故选A. 5.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=AC,AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点,给出下列结论:①C1M⊥平面A1ABB1;②A1B⊥NB1;③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 D 解析 由侧棱AA1⊥平面A1B1C1,可得AA1⊥C1M.由A1C1=B1C1及M为A1B1的中点可得C1M⊥A1B1, ∵AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1平面A1ABB1, ∴C1M⊥平面A1ABB1,∴①正确; 由C1M⊥平面A1ABB1, 可得C1M⊥A1B, 又已知AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1, ∴A1B⊥平面AMC1,从而可得A1B⊥AM, 又易证得AM∥NB1, ∴A1B⊥NB1,∴②正确; 易证得AM∥NB1,MC1∥CN,从而根据面面平行的判定定理可证得平面AMC1∥平面CNB1,∴③正确,故选D. 6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A-BCD,则在几何体A-BCD中,下列结论正确的是( ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 考点 平面与平面垂直的判定 题点 判定两平面垂直 答案 D 解析 由已知得BA⊥AD,CD⊥BD, 又平面ABD⊥平面BCD, ∴CD⊥平面ABD, 从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC. 又AB平面ABC, ∴平面ABC⊥平面ADC. 7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,AB=BC,则下列结论中正确的是( ) A.BD1∥B1C B.A1D1∥平面AB1C C.BD1⊥AC D.BD1⊥平面AB1C 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 C 解析 连接BD.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC, ∴AC⊥BD.又AC⊥DD1,BD∩DD1=D, ∴AC⊥平面BDD1. ∵BD1⊂平面BDD1, ∴AC⊥BD1.故选C. 8.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,A1B1的中点,点P在正方体的表面上运动,则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是( ) A.4 B.2+ C.3+ D.2+ 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的计算与探索性问题 答案 D 解析 如图,取CC1的中点G,连接DG,MG,则MG∥BC.设BN交AM于点E. ∵BC⊥平面ABB1A1,NB平面ABB1A1, ∴NB⊥MG. ∵正方体的棱长为1,M,N分别是BB1,A1B1的中点, ∴△ABM≌△BB1N, ∴∠MAB=∠NBB1,∴∠MBE+∠BME=90, ∴∠MEB=90,即BN⊥AM, 又MG∩AM=M,MG,AM平面ADGM, ∴NB⊥平面ADGM, ∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点).∵正方体的棱长为1, ∴矩形ADGM的周长等于2+.故选D. 二、填空题 9.下列四个命题中,真命题的个数为________. ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③若点M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l; ④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. 考点 平面的基本性质 题点 确定平面问题 答案 1 解析 只有③正确. 10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1, BC=,则异面直线A1C与B1C1所成的角为________. 考点 异面直线所成的角 题点 求异面直线所成的角 答案 60 解析 因为几何体是棱柱,BC∥B1C1,则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=1,BC=,BA1==,则CA1==,所以△BCA1是正三角形,故异面直线所成角为60. 11.如图,已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________. 考点 二面角 题点 知题作角 答案 解析 在平面BC1内延长FE,CB,相交于点G,连接AG,过点B作BH垂直AG于点H,连接EH. ∵BE⊥平面ABCD,AG平面ABCD, ∴BE⊥AG. ∵BH⊥AG,BH∩EB=B, BH,EB平面BEH, ∴AG⊥平面BEH, ∴AG⊥EH.故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角. 设正方体的棱长为a, 则BE=,CF=a, ∴GB∶GC=BE∶CF=1∶2, ∴BG=a,∴BH=a, 故tan∠BHE===. 三、解答题 12.已知△ABC是边长为1的等边三角形,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到三棱锥A-BCF,其中BC=. (1)证明:DE∥平面BCF; (2)证明:CF⊥平面ABF. 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行、垂直综合问题的证明 证明 (1)在等边三角形ABC中,AD=AE, ∴=, 在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,∴DE∥BC. ∵DE⊈平面BCF,BC平面BCF, ∴DE∥平面BCF. (2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点, ∴AF⊥BC,折叠后,AF⊥CF. ∵在△BFC中,BC=,BF=CF=, ∴BC2=BF2+CF2,因此CF⊥BF. 又AF∩BF=F,AF,BF平面ABF, ∴CF⊥平面ABF. 13.如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 证明 (1)在平面ABD内, 因为AB⊥AD,EF⊥AD, 则AB∥EF. 又因为EF⊈平面ABC,AB平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,BC平面BCD,BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因为AD平面ABD,所以BC⊥AD. 又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB平面ABC, BC平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC平面ABC, 所以AD⊥AC. 四、探究与拓展 14.已知二面角α-l-β为60,动点P,Q分别在平面α,β内,P到β的距离为,Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为( ) A. B.2 C.2 D.4 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 垂直的计算与探索性问题 答案 C 解析 如图,分别作QA⊥α于点A,AC⊥l于点C,PB⊥β于点B,PD⊥l于点D,连接CQ,BD,则∠ACQ=∠PDB=60,AQ=2,BP=,∴AC=PD=2.又∵PQ==≥2,当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故选C. 15.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90,AB=AC=AA1=2,点M为A1B的中点. (1)证明:A1M⊥平面MAC; (2)在棱B1C1上是否存在点N,使MN∥平面A1ACC1?若存在,试确定点N的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 垂直的计算与探索性问题 (1)证明 在Rt△BAC中,BC===2.在Rt△A1AC中, A1C===2. ∴BC=A1C,即△A1CB为等腰三角形. 又点M为A1B的中点,∴A1M⊥MC. 又∵四边形AA1B1B为正方形,M为A1B的中点, ∴A1M⊥MA. 又MC∩MA=M,MC平面MAC,MA平面MAC, ∴A1M⊥平面MAC. (2)解 当N为B1C1的中点时,满足MN∥平面A1ACC1, 证明如下: 取A1B1的中点P,连接MP,NP. ∵M,P分别为A1B与A1B1的中点, ∴MP∥BB1∥AA1. 又MP⊈平面A1ACC1,AA1平面A1ACC1, ∴MP∥平面A1ACC1,同理可证NP∥平面A1ACC1. 又MP∩NP=P,∴平面MNP∥平面A1ACC1. ∵MN平面MNP,∴MN∥平面A1ACC1.- 配套讲稿:
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