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课时规范练15 导数与函数的小综合
基础巩固组
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
2.(2017山东烟台一模,文9)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,b>0,c>0,d<0
B.a>0,b>0,c<0,d<0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d>0
3.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=( )
A.0 B.2 C.-4 D.-2
4.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f(x),满足f(x)
2ex的解集为 ( )
A.(-∞,0) B.(-∞,2)
C.(0,+∞) D.(2,+∞)
5.(2017辽宁大连一模,文8)函数f(x)=exx的图象大致为 ( )
6.(2017河南濮阳一模,文12)设f(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导函数,满足xf(x)+2f(x)=1x2,则下列不等式一定成立的是( )
A.f(e)e2>f(e2)e B.f(2)9f(e)4 D.f(e)e20时,xf(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .
11.(2017山东泰安一模,文14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g(x)为g(x)的导函数,对∀x∈R,总有g(x)>2x,则g(x)0,且对∀x∈(0,+∞),2f(x)0,则a的取值范围是 .
答案：
1.D 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=[(x-3)ex]=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由导数与函数单调性的关系,得当f(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
2.C 由题图可知f(0)=d>0,排除选项A,B;∵f(x)=3ax2+2bx+c,
且由题图知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D.故选C.
3.B 因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f(x)=3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系可知m+n=-(-6)3=2.
4.C 设g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex.
∵f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增.
∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,
∴不等式f(x)>2ex等价于g(x)>g(0).∵函数g(x)在定义域内单调递增,
∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C.
5.B 函数f(x)=exx的定义域为x≠0,x∈R,当x>0时,函数f(x)=xex-exx2,可得函数的极值点为x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,当x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B,D满足题意.当x<0时,函数f(x)=exx<0,选项D不正确,选项B正确.
6.B ∵xf(x)+2f(x)=1x2,
∴x2f(x)+2xf(x)=1x,
令g(x)=x2f(x),则g(x)=2xf(x)+x2f(x)=1x>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增.
∴g(2)=4f(2)c>b ∵方程f(x)=0无解,
∴f(x)>0或f(x)<0恒成立,
∴f(x)是单调函数;
由题意得∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,
且f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数,则f(x)-log2 015x是定值.
设t=f(x)-log2 015x,则f(x)=t+log2 015x,∴f(x)是增函数.
又0c>b.故答案为a>c>b.
10.(-∞,-1)∪(0,1) 当x>0时,令F(x)=f(x)x,
则F(x)=xf(x)-f(x)x2<0,
∴当x>0时,F(x)=f(x)x为减函数.
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在区间(0,1)内,F(x)>0;
在(1,+∞)内,F(x)<0,即当00;
当x>1时,f(x)<0.
又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
11.(-∞,-1) ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)的图象过原点,
∵g(x)=f(x+1)+5,∴g(x)的图象过点(-1,5).
令h(x)=g(x)-x2-4,∴h(x)=g(x)-2x.∵对∀x∈R,总有g(x)>2x,
∴h(x)在R上是增函数,又h(-1)=g(-1)-1-4=0,
∴g(x)1时,g(x)>0,函数g(x)递增,
∴当x>0时,g(x)min=g(1)=2.
∵f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,作函数y=(x)的图象,如图所示,
当f(x)=2时,方程两根分别为-5和-1,则m的最小值为-5,故选A.
13.B 令g(x)=f(x)x2,x∈(0,+∞),
则g(x)=xf(x)-2f(x)x3.
∵∀x∈(0,+∞),2f(x)0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,
∴f(1)10,
∴f(1)f(2)<14.
令h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),则h(x)=xf(x)-3f(x)x4.
∵∀x∈(0,+∞),2f(x)f(2)8,
又f(x)>0,∴180,
y=3x-2(sin x-cos x)为增函数,则其是“H函数”;
对于③,y=1-ex=-ex+1,是减函数,则其不是“H函数”;
对于④,f(x)=lnx(x≥1),0(x<1),当x<1时,f(x)是常数函数,当x≥1时,f(x)是增函数,则其是“H函数”.
故“H函数”有2个,故选B.
16.23,1 由题意设g(x)=-x3+3x2,h(x)=a(x+2),
则g(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),
所以g(x)在(-∞,0),(2,+∞)内递减,在(0,2)内递增,
且g(0)=g(3)=0,g(2)=-23+322=4.
在同一个坐标系中画出两个函数图象如图所示.
因为存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,即g(x0)>h(x0),
所以由图得x0=2,
则a>0,g(2)>h(2),g(1)≤h(1),
即a>0,4>4a,-1+3≤3a,解得23≤a<1,
所以a的取值范围是23,1,故答案为23,1.
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