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2019届高三数学下学期第一次模拟考试四月试题理
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝( )
A．[－2,2] B．[－2,4] C．[0,2] D．[0,4]
2． “a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A. B． C． D.
4．如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f(x)＝sin(x∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )
A. B. C. D.
6．函数g(x)＝2ex＋x－3t2dt的零点所在的区间是( )
A．(－3，－1) B．(－1,1)
C．(1,2) D．(2,3)
7．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．3 D．6
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π
9．已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面 PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
10．已知(x+2) (2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝( )
A．10 B．5 C．1 D．0
11．已知抛物线y2＝4x的准线与x轴相交于点P，过点P且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FB|＝2|FA|，则AB的长度为( )
A. B．2 C. D.
12．已知曲线f(x)＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数g(x)＝f(x)－|ln x|的两个零点，则( )
A．1
0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为________．
15．[xx太原质检]已知向量与的夹角为120，|－|＝2，|－|＝3，若向量＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
16．在中，是内一动点，，则的最小值为 .
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．[xx湖北联考](本小题满分12分)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋，求数列{cn}的前n项和．
18． (本小题满分12分) 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.7
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.
（I）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：，称为相应于点的残差（也叫随机误差））；
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
2.4
2.1
1.6
残差
0
-0.1
0.1
模型乙
估计值
2.3
2
1.9
残差
0.1
0
0
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（II）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6,0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4,0.6，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（I）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）．
19． (本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．
(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．
(2)当四面体A－BCD体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．
20． (本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
21． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ln x－4(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝2时，若存在区间[m，n]⊆，使f(x)在[m，n]上的值域是，求k的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22． (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的方程为x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ(2cosθ－sinθ)＝6.
(1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
(2)设P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的最大距离．
23． (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝＋的最大值为M.
(1)求实数M的值；
(2)求关于x的不等式|x－|＋|x＋2|≤M的解集．
参考答案(四)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．[xx成都诊断考试]已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝( )
A．[－2,2] B．[－2,4] C．[0,2] D．[0,4]
答案 B
解析 A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，故A∪B＝{x|－2≤x≤4}，故选B.
2．[xx茂名市二模]“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a2－1＋2(a＋1)i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，所以a＝1，反之也成立．故选A.
3．[xx呼和浩特调研]设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A. B． C． D.
答案 B
解析 由题意可得c＝1，a＝2，b＝，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k＝.
4．[xx洛阳第一次联考]如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f(x)＝sin(x∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 最小范围内的至高点坐标为，原点到至高点距离为半径，即n2＝＋3⇒n＝2，故选B.
5．[xx长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即，故选A.
6．[xx贵阳一中质检]函数g(x)＝2ex＋x－3t2dt的零点所在的区间是( )
A．(－3，－1) B．(－1,1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 C
解析 因为3t2dt＝t3＝8－1＝7，∴g(x)＝2ex＋x－7，g′(x)＝2ex＋1>0，g(x)在R上单调递增，g(－3)＝2e－3－10<0，g(－1)＝2e－1－8<0，g(1)＝2e－6<0，g(2)＝2e2－5>0，g(3)＝2e3－4>0，故选C.
7．[xx浙江高考]在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．3 D．6
答案 C
解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.
8．[xx广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝34π12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.
9．[xx南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
答案 A
解析 PA⊥平面PBC，AC＝2，PA＝4，∴PC＝2，∴△PBC为等边三角形，设其外接圆半径为r，则r＝2，∴外接球半径为2.故选A.
10．[xx四川高考]在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，＝＝＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由||＝||＝||知，D为△ABC的外心．由＝＝知，D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以||max＝|BE|＋＝，则||＝，选B.
11．[xx山西质检]记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若－7－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a，则＋的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵{an}是正项等比数列，设{an}的公比为q(q>0)，∴＝q6，＝q3，∴q6－7q3－8＝0，解得q＝2，又a1ama2n＝2a，∴a2m＋2n－2＝2(a124)3＝a213，∴m＋2n＝15，∴＋＝(m＋2n)＝≥＝，当且仅当＝，n＝2m，即m＝3，n＝6时等号成立，∴＋的最小值是，故选C.
12．[xx海口调研]已知曲线f(x)＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数g(x)＝f(x)－|ln x|的两个零点，则( )
A．10，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为________．
答案 ＋1
解析 ∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30，∴∠PF1F2＝30，∠PF2F1＝60，∴∠F2PF1＝90，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin60＝c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c，∴双曲线C的离心率e＝＝＝＋1.
16．[xx广州综合测试]已知函数f(x)＝
则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________个．
答案 2
解析 由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0，得f(x)＝21－|x|，画出y＝与y＝21－|x|的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．[xx湖北联考](本小题满分12分)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋，求数列{cn}的前n项和．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0，
在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4，得a2＝2，①
(2分)
又a3＋1是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，②
把①代入②，得2(2q＋1)＝2＋2q2，解得q＝2或q＝0(舍去)，(4分)
所以an＝a2qn－2＝2n－1，
则bn＝log2an＋1＝log22n＝n.(6分)
(2)由(1)得，cn＝an＋1＋
＝2n＋＝2n＋，(8分)
所以数列{cn}的前n项和Sn＝2＋22＋…＋2n＋1－＋＋…＋＝＋＝2n＋1－2＋.(12分)
18．[xx重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
(1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
解 (1)记顾客获得半价优惠为事件A，则P(A)＝＝，(2分)
两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P＝1－P()P()＝1－2＝.(4分)
(2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．(6分)
若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160,224,256,320.
P(X＝160)＝，
P(X＝224)＝＝，
P(X＝256)＝＝，
P(X＝320)＝＝，(9分)
则E(X)＝160＋224＋256＋320＝240.
∵270>240，
∴第二种方案比较划算．(12分)
19．[xx贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．
(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．
(2)当四面体A－BCD体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．
解 (1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，
所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.
即AB2＋a2＝BC2⇒12＋a2＝()2⇒a＝1.(2分)
若AD⊥BC，因为AD⊥AB，AB∩BC＝B，
所以AD⊥面ABC⇒AD⊥AC，
即AD2＋a2＝CD2⇒()2＋a2＝12⇒a2＝－1，无解，
故AD⊥BC不成立．(4分)
(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.(6分)
过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，
以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，
则易知A，C，D
显然，面BCD的法向量为＝.(8分)
设面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为＝，＝，
所以令y＝，
得n＝(1，，2)，(10分)
故二面角A－CD－B的余弦值即为
|cos〈，n〉|＝＝.(12分)
20．[xx全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
解 由题知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且A，B，P，Q，
R，.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(3分)
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝k2，
所以AR∥FQ.(5分)
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝.
则题设可得|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)，而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.
所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.(12分)
21．[xx湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ln x－4(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝2时，若存在区间[m，n]⊆，使f(x)在[m，n]上的值域是，求k的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，
当a≤0时，f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数，(3分)
∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数；当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数．(4分)
(2)当a＝2时，f(x)＝2x－ln x－4，由(1)知：f(x)在上为增函数，而[m，n]⊆，
∴f(x)在[m，n]上为增函数，结合f(x)在[m，n]上的值域是知：f(m)＝，f(n)＝，其中≤m0，
∴F(x)在上为增函数，即φ′(x)在上为增函数，而φ′(1)＝0，
∴当x∈时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，(10分)
而φ＝，φ(1)＝－4，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故结合图象得：
φ(1)
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