2019高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做15 函数与导数：极值点不可求与构造 理.docx

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大题精做15 函数与导数：极值点不可求与构造 [2019厦门三中]已知函数，． （1）讨论的极值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值； （2）． 【解析】（1）依题意， ①当时，，在上单调递增，无极值； ②当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，无极小值． 综上可知，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值． （2）原不等式可化为， 记，只需，可得． ①当时，，，所以，在上单调递增，所以当时，，不合题意，舍去． ②当时，， （i）当时，因为，所以，所以， 所以在上单调递减，故当时，，符合题意． （ii）当时，记， 所以，在上单调递减． 又，， 所以存在唯一，使得． 当时，， 从而，即在上单调递增， 所以当时，，不符合要求，舍去． 综上可得，． 1．[2019黄山一模]已知函数，（为自然对数的底数）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，不等式成立． 2．[2019榆林一模]已知函数． （1）设，求的最大值及相应的值； （2）对任意正数恒有，求的取值范围． 3．[2019张家口期末]已知函数． （1）若，使得恒成立，求的取值范围． （2）设，为函数图象上不同的两点，的中点为， 求证：． 1．【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）由题意知，当时，，解得， 又，，即曲线在点处的切线方程为． （2）证明：当时，得， 要证明不等式成立，即证成立， 即证成立，即证成立， 令，，易知，， 由，知在上单调递增，上单调递减，， 所以成立，即原不等式成立． 2．【答案】（1）当时，取得最大值；（2）． 【解析】（1）∵，∴， ∴， 则， ∵的定义域为，∴， ①当时，；②当时，；③当时，， 因此在上是增函数，在上是减函数， 故当时，取得最大值． （2）由（1）可知，， 不等式可化为① 因为，所以（当且仅当取等号）， 设，则把①式可化为，即（对恒成立）， 令，此函数在上是增函数，所以的最小值为， 于是，即． 3．【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）恒成立，即恒成立， 令，， 由于，则在单调递减，在单调递增， 故，解得． （2）证明：因为为的中点，则， 故， ，故要证，即证， 由于，即证． 不妨假设，只需证明，即． 设，构造函数，，则， 则有，从而．