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第8课时 正态分布
基础达标(水平一)
1.下列函数是正态分布密度函数的是( ).
A.f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,μ,σ(σ>0)都是实数
B.f(x)=2π2πe-x22
C.f(x)=122πe-(x-1)24
D.f(x)=12πex22
【解析】通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态分布密度函数解析式的特点.
【答案】B
2.如果随机变量X~N(μ,σ2),且E(X)=3,D(X)=1,那么P(0
3)=0.012,则P(-1≤ξ≤1)=( ).
A.0.976 B.0.024 C.0.488 D.0.048
【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),所以其正态曲线关于直线x=1对称.又因为P(ξ>3)=0.012,所以P(ξ<-1)=P(ξ>3)=0.012,所以P(-1≤ξ≤1)=0.5-P(ξ<-1)=0.5-0.012=0.488.
【答案】C
5.若X~N(μ,σ2),且f(x)=Ae-x2-6x+92为X的正态分布密度函数,则A= .
【解析】将给定的函数变形为f(x)=Ae-(x-3)22,对比正态分布密度函数的标准形式f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2(x∈R),可知μ=3,σ=1,故A=12π.
【答案】12π
6.据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合评分X服从正态分布N(60,102),考生共10000人.若一考生的综合评分为80分,则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第 名.
【解析】依题意,P(60-2080)=12(1-0.9544)=0.0228,
所以成绩高于80分的考生人数为100000.0228=228.
所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名.
【答案】229
7.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X2-3X+2<0)=0.432.求:
(1)P(X>0);
(2)P(X2≥X).
【解析】P(X2-3X+2<0)=P(10)=P(00)=0.568.
拓展提升(水平二)
8.设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( ).
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
【解析】由图象知,μ1<μ2,σ1<σ2,P(Y≥μ2)=12,P(Y≥μ1)>12,所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1),故B错误;
对任意正数t,P(X≥t)≤P(Y≥t),故C错误;
对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),故选D.
【答案】D
9.一批电阻的阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1000,52).若从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻,测得阻值分别为1011 Ω、982 Ω,则可以认为( ).
A.甲、乙两箱电阻均可出厂
B.甲、乙两箱电阻均不可出厂
C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂
D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂
【解析】∵X~N(1000,52),∴μ=1000,σ=5,
∴μ-3σ=1000-35=985,
μ+3σ=1000+35=1015.
又1011∈(985,1015),982∉(985,1015).
∴甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.
【答案】C
10.某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位:小时)为随机变量Y,已知Y~N(1000,302),若要使灯管的平均寿命在1000小时的概率为99.74%,则灯管的最低寿命应控制在 小时.
【解析】因为P(μ-3σ1500,P(X≥x0)=0.15%,
因为P(X-1500≥x0-1500)
=1-P(|X-1500|
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