2018-2019高二数学上学期期中试卷理科附答案

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2018-2019 高二数学上学期期中试卷理科附答案本试卷分第Ⅰ卷( 选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分．满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、单选题1．命题“若 ,则 且 ”的逆否命题是( D )A． 若 ,则 且 B． 若 ,则 或 C． 若 且 ,则 D． 若 或 ,则 2 已知抛物线方程为 ，则该抛物线的焦点坐标为( C )A． B． C． D． 3．下列命题错误的是（B ）A． 命题“ ， ”的否定是“ ， ”;B． 若 是假命题，则 ， 都是假命题C． 双曲线 的焦距为 D． 设 ， 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面 ，使得 ，且 4．与椭园 共焦点且渐近线方程为 的双曲线的标准方程为( D ）A． B． C． D． 5．已知 .若“ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是( C )A． (1， +∞) B． (－∞， 3) C． (1，3) D． 6．直线 截圆 所得弦的长度为 4，则实数 的值是（ A）A． －3 B． －4 C． －6 D． 7．方程 表示的曲线是( D )A． 两条直线 B． 两条射线 C． 两条线段 D． 一条直线和一条射线8．已知 、 是椭圆 ： 的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 ，若 的面积为 9，则 的值为（ C ）A． 1 B． 2 C． 3 D． 49．如图，空间四面体 的每条边都等于 1，点 ， 分别是 ， 的中点，则 等于（A ）A． B． C． D． 10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上的动点，则 的最小值为（B ）A． B． C． D． 11．如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，D,E 分别为 BB1,A1C1 的中点，则异面直线 AD,CE 所成角的余弦值为（C）A． B． C． D． 12． 为双曲线 上一点， 分别为 的左、右焦点， ，若 外接圆半径与其内切圆半径之比为 ，则 的离心率为（D）A． B． 2 C． 或 D． 2 或 3题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C B D C A D C A B C D二、填空题13．已知 O 为空间任意一点，A,B,C,D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且 ,则 __________；【答案】-114．有下列几个命题:①“若 ,则 ”的否命题; ②“若 ,则 , 互为相反数”的逆命题;③“若 ,则 ”的逆否命题;④ “若 ,则 有实根”的逆否命题;其中真命题的序号是_____.【答案】②③④15． 15．已知点 在椭圆 上，则 的最大值为___________；【答案】416．已知椭圆 上一点 A 关于原点的对称点为点 为其右焦点，若 ,设 ,且 ，则椭圆的离心率 的取值范围为______________【答案】 三、解答题17．已知 ，已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：“函数 在 上为单调增函数．若“ 或 ”为真命题， “ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围．【答案】 或 【试题解析】若 为真命题，则 解得 若 为真命题，则 即 ,若“ 或 ”为真命题， “ 且 ”为假命题，则 一真一假.当 时，由 得 ,当 时，由 得 综上，实数 的取值范围是 或 18．已知向量 ， ，若向量 同时满足下列三个条件：① ；② ；③ 与 垂直. （1 ）求向量 的坐标；（2 ）若向量 与向量 共线，求向量 与 夹角的余弦值.【答案】(1) 或 ；(2) .（1 ）设 ，则由题可知 解得 或 所以 或 .（2 ）因为向量 与向量 共线，所以 . 又 ， ，所以 ， ，所以 ，且 ， ，所以 与 夹角的余弦值为 .19．如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上的投影， 为 上一点，且 .（1 ）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；（2 ）求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度.【答案】 （1） .（ 2） .（1 ）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由已知得 .∵ 在圆上， ，即 ，整理得 ，即 的方程为 .（2 ）过点 且斜率为 的直线方程为 ，设直线与 的交点为 ， ，将直线方程 代入 的方程，得 ，即 .∴x1+x2=3，x1•x2=-8 ∴线段 的长度为.∴直线被 所截线段的长度为 .20．如图所示，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， ， 为 的中点.（1 ）求证： 平面 ；（2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】（1 ）证明：因为 ， ， ，所以 ， ，在 中， ， ， ，由余弦定理可得： 解得： 所以 ，所以 是直角三角形，又 为 的中点，所以 又 ，所以 为等边三角形，所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2 ）解：由（1）可知 ，以点 为原点，以 , ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .所以 ， ， .设 为平面 的法向量，则 ，即 设 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 ，所以 ,所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .21．已知 为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线，并在 轴上方交双曲线于点 ，且 .（1 ）求双曲线 的方程；(2)过圆 上任意一点 作切线 交双曲线 于 两个不同点， 中点为 ，若 ，求实数 【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析【解析】：（1）根据已知条件 得 ，∴焦点坐标为 ，∵ 轴，∴ 在直角三角形 中， ，解得 ，于是所求双曲线方程为 .（2 ）①当直线 的斜率不存在时，则 ，于是 ，此时 ， ②当直线 的斜率存在时，设 的方程为 切线 与 的交点坐标为 ，于是有 消去 化成关于 的二次为 .∵ 为 的中点，∴ 即 坐标为 则 ， 又点 到直线 的距离为 ， .代入得： ， ，故 . 22．已知抛物线 ： （ ）与椭圆 ： 相交所得的弦长为 （Ⅰ）求抛物线 的标准方程；（Ⅱ）设 ， 是 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 ， 变化且 为定值 （ ）时，证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】 （Ⅰ） ；（Ⅱ）直线 恒过定点 ．【解析】 （Ⅰ）设抛物线 与椭圆 交于 ， 两点．由椭圆的对称性可知， ， ， 将点 代入抛物线 中，得 ， 再将点 代入椭圆 中，得 ，解得 ．故抛物线 的标准方程为 ． （Ⅱ）设点 ， ，由题意得 （否则 ，不满足 ） ，且 ， ，设直线 ， 的方程分别为 ， ， 联立 ，解得 ， ，联立 ，解得 ， ； 则由两点式得，直线 的方程为 ．化简得 ．①因为 ，由 ，得 ，得 ，②将②代入①，化简得 ，得 ．得 ，得 ，得 ，即 ．令 ，不管 取何值，都有 ．所以直线 恒过定点 ． 考点：（1）轨迹方程；（2）直线过定点；（3）直线与圆的位置关系.