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第Ⅰ篇 高考专题讲练 方法篇
角度一 特值(例)排除法
特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等,针对各选项进行代入对照,结合排除法,从而得到正确的答案.
(1)使用前提:满足当一般性结论成立时,对符合条件的特殊化情况也一定成立;
(2)使用技巧:找到满足条件的合适的特殊化例子,或举反例排除,有时甚至需要两次或以上的特殊化例子才可以确定结论;
(3)常见问题:求范围、比较大小、求值或取值范围、恒成立问题、任意性问题等.而对于函数图像的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题,常通过排除法解决.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅰ] 图F1-1来自古希腊数学家希波
图F1-1
克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3
不妨设三角形ABC为等腰直角三角形,过A作AO垂直BC于O,则区域Ⅰ,Ⅱ的面积相等.答案选A
[2017全国卷Ⅰ] 函数y=sin2x1-cosx的部分图像大致为 ( )
图F1-2
取特殊值x=1,x=π,结合函数的奇偶性进行排除,答案选C
[2017全国卷Ⅰ] 已知α∈0,π2,tanα=2,则cosα-π4= .
取角α终边上特殊点(1,2)利用定义代入计算,答案:31010
[2017全国卷Ⅰ] 函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
当x=4时,
f(x-2)=f(2)
b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ( )
A.a+1bb|b|,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.a3>b3 B.a2>b2
C.1a<1b D.log12|a|1.若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为 ( )
A.a<2 B.3b>0)的离心率为32,过椭圆上一点M作直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1k2的值为 .
角度二 验证法
验证法是把选择支代入题干中进行检验,或反过来从题干中找合适的验证条件,代入各选择支中进行检验,从而可否定错误选择支而得到正确选择支的一种方法.
(1)使用前提:选项中存在唯一正确的选择支.
(2)使用技巧:可以结合特例法、排除法等先否定一些明显错误的选项,再选择直觉认为最有可能的选项进行验证,这样可以快速获取答案.
(3)常见问题:题干信息不全,选项是数值或范围,正面求解或计算繁琐的问题等.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
当sinx=0,cosx=1时,函数值为4,所以A,C错;把x+π代入函数验证可得f(x+π)=f(x),说明D错,故选B
[2018全国卷Ⅲ] 下列函数中,其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是 ( )
A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
函数y=lnx的图像过定点(1,0),而(1,0)关于直线x=1的对称点还是(1,0),将(1,0)代入各选项,验证可知只有B满足,故选B
[2017全国卷Ⅰ] 设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120,则m的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
选取四个选项的差异值m=3,m=4代入验证,答案选A
[2014全国卷Ⅰ] 若tanα>0,则 ( )
A.sinα>0 B.cosα>0
C.sin2α>0 D.cos2α>0
令α=240逐个验证选项,答案选C
[2014全国卷Ⅰ] 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
取特殊函数f(x)=x,g(x)=x2进行验证排除,答案选C
测题
1.函数f(x)=xex+lgx-10的零点所在的区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
2.已知函数f(x)=sinωx+π6(其中ω>0)的图像的一条对称轴方程为x=π12,则ω的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.10 D.16
3.已知定义域为I的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且∃x0∈I,f(x0)<0,则下列函数中符合上述条件的是 ( )
A.f(x)=x2-|x| B.f(x)=2x-2-x
C.f(x)=log2|x| D.f(x)=x-43
4.已知函数f(x)=-x3-7x+sinx,若f(a2)+f(a-2)>0,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,3)
C.(-1,2) D.(-2,1)
角度三 估算法
由于选择题提供了唯一正确的答案,解答又不需提供过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得答案.这样往往可以减少运算量,加强思维的层次.估算省去了很多推导过程和复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷.
(1)使用前提:针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值法结合起来使用.
(2)使用技巧:对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等,对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算.
(3)常见问题:求几何体的表面积、体积,三角函数的求值,求双曲线、椭圆的离心率,求参数的范围等.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅲ] 设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ( )
A.123 B.183
C.243 D.543
等边三角形ABC的面积为93,显然球心不是此三角形的中心,所以三棱锥体积最大时,三棱锥的高h∈(4,8),所以13934b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
a=log2e>1,b=ln2=1log2e∈(0,1),c=log1213=log23>log2e,据此可得c>a>b,故选D
[2017全国卷Ⅲ] 函数f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值为 ( )
A.65 B.1
C.35 D.15
当x=π6时,f(x)=65大于1,故选A
[2017全国卷Ⅱ] 若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(2,2)
C.(1,2) D.(1,2)
用a表示离心率e的表达式,根据a>1,估算e的取值范围,答案选C
测题
1.某班设计了一个八边形的班徽(如图F3-1),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为 ( )
图F3-1
A.2sinα-2cosα+2
B.sinα-3cosα+3
C.3sinα-3cosα+1
D.2sinα-cosα+1
2.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上的一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为 ( )
A.a
B.b
C.a2+b2
D.a+b-a2+b2
3.sin1,sin2,sin3的大小关系为 ( )
A.sin1>sin2>sin3
B.sin2>sin1>sin3
C.sin3>sin2>sin1
D.sin2>sin3>sin1
4.若0<α<β<π4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则 ( )
A.ab
C.ab<1
D.ab>2
角度四 构造法
构造法是一种创造性的解题方法,它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想.利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等,从而简化推理与计算过程,使较复杂或不易求解的数学问题得到简捷解答.
构造法来源于对基础知识和基本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经类似的问题中找到构造的灵感.
(1)使用前提:构造的函数、方程、图形等要合理,不能超越原题的条件限制.
(2)使用技巧:对于不等式、方程、函数问题常构造新函数,对于不规则的几何体常构造成规则的几何体处理.
(3)常见问题:比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅱ] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ( )
A.15 B.56 C.55 D.22
在长方体ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1一侧再补添一个完全一样的长方体ABC2D2-A1B1B2A2,求△AB2D1中∠D1AB2的余弦值即可,答案选C
[2016全国卷Ⅱ]α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
构造正方体,将正方体中的有关棱与面看作问题中的有关直线与平面,逐一判断,答案:②③④
[2016全国卷Ⅰ] 若a>b>0,0cb
构造函数y=logcx,y=cx和y=xc,利用函数的单调性可解决,答案选B
[2015全国卷Ⅱ] 设函数f(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
根据题意构造新函数g(x)=f(x)x,对g(x)求导再解,答案选A
[2015全国卷Ⅱ] 设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .
由an+1=Sn+1-Sn,将原等式变形,再构造等差数列1Sn求解,答案:-1n
测题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=7,S10=21,则S15= ( )
A.35 B.42
C.49 D.63
2.已知a>b>0,则下列不等式中成立的是 ( )
A.1a>1b B.log2ab-12
3.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图F4-1,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ( )
图F4-1
A.12 B.-12
C.32 D.-32
4.设函数f(x)的导数为f(x),且对任意x∈R都有f(x)>f(x)成立,则 ( )
A.3f(ln2)>2f(ln3)
B.3f(ln2)=2f(ln3)
C.3f(ln2)<2f(ln3)
D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小关系不确定
5.在△ABC中,a2+c2-b2-3ac=0,则3cosA+cosC的最大值为 .
选填题的特殊解法
角度一
1.A [解析] 利用排除法:a=-1,b=-2时,a2>b2与log12|a|1,f(-1)=f(1)=-1,故a=0符合题意,排除B,D选项.当a=4时,若x≤1,则f(x)≤3,若x>1,则f(x)>2,显然存在x1≤1,x2>1,满足f(x1)=f(x2),故a=4符合题意,排除A选项.故选C.
5.-14 [解析] 不妨设M为椭圆的上顶点(0,b),A(-a,0),B(a,0)分别为椭圆的左、右顶点,显然满足题意,所以k1k2=-baba=-a2-c2a2=-1+e2=-14.
角度二
1.B [解析]f(x)=xex+lg x-10在(0,+∞)上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,∴函数f(x)=xex+lg x-10的零点所在的区间为(1,2),故选B.
2.B [解析] 若ω=2,当x=π12时,有fπ12=sin2π12+π6=32,不符合题意;若ω=4,当x=π12时,有fπ12=sin4π12+π6=1,符合题意.所以ω的最小值为4.
3.C [解析] 函数f(x)=x2-|x|的图像关于y轴对称,但在0,12上单调递减,在12,+∞上单调递增,不满足题意;函数f(x)=2x-2-x的图像关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,不满足题意;函数f(x)=x-43=13x4>0,即函数f(x)的值域为(0,+∞),不满足题意.故选C.
4.D [解析] 若a=1,则f(a2)+f(a-2)=f(1)+f(-1)=0,不满足f(a2)+f(a-2)>0,所以排除选项B,C;若a=-2,则f(a2)+f(a-2)=f(4)+f(-4)=0,也不满足f(a2)+f(a-2)>0,所以排除A选项.故选D.
角度三
1.A [解析] 当顶角α→π2或α→π时,八边形的班徽趋近于边长为2的正方形,面积趋近于4.四个选项中,只有A符合,故选A.
2.A [解析] 如图,当点P沿双曲线无限接近右顶点时,△PF1F2的内切圆越来越小,直至“点圆”,此“点圆”应为双曲线的右顶点,则内切圆圆心的横坐标为a,故选A.
3.B [解析] 因为sin 1=sin(π-1),π2<2<π-1,正弦函数在π2,π上单调递减,所以sin 2>sin(π-1),即sin 2>sin 1;因为π2<2<3<π,正弦函数在π2,π上单调递减,所以sin 2>sin 3;
因为sin 1=sin(π-1),π2<π-1<3<π,正弦函数在π2,π上单调递减,所以sin(π-1)>sin 3,
即sin 1>sin 3.综上所述,sin 2>sin 1>sin 3.
4.A [解析] 若α→0,则sin α+cos α=a→1;若β→π4,则sin β+cos β=b→2.结合选项分析选A.
角度四
1.B [解析] 构造新数列.在等差数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=214,解得S15=42.
2.C [解析] 构造函数.因为a>b>0,所以1a<1b;因为y=log2x为增函数,所以log2a>log2b;因为y=x-12在(0,+∞)上为减函数,所以a-12f(x)成立,所以g(x)>0,即g(x)在R上单调递增.又ln 2
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