2019-2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理(平行班含解析).doc

《2019-2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理(平行班含解析).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理(平行班含解析).doc（14页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理(平行班，含解析) 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中至少有一个偶数”正确的反设为（ ） A.，，都是奇数 B.，，都是偶数 C.，，中至少有两个偶数 D.，，中至少有两个偶数或都是奇数 【答案】D 【解析】 结论：“自然数中恰有一个偶数”的反面为恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数,因此选D. 2.下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的求导公式和运算法则，逐一检验即可. 【详解】由求导公式知sinx=cosx 故A错误，3x=3xln3，故C错误，1x=-1x2，故D错误，B选项正确，故选B. 【点睛】本题主要考查了常见函数的求导公式，属于容易题. 3.用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+n+3=n+3n+42n∈N*时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（ ） A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据所给式子可知左边为1+2+…+(1+3)，可知正确选项. 【详解】当n=1时，左边应为1+2+…+(1+3)，即1+2+3+4，故选D. 【点睛】本题主要考查了数学归纳法及归纳推理的能力，属于容易题. 4.向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h随时间变化的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢，可知选C. 【详解】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选C. 【点睛】本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题. 5.若双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为x3+y=0．则此双曲线的离心率为（ ） A. 103 B. 31010 C. 10 D. 22 【答案】A 【解析】 试题分析：由条件知，ba=3，所以e=1+(ba)2=1+19=103，所以选C. 考点：双曲线的几何性质. 6.若平面α与β的法向量分别是a=2,4,−3，b=−1,2,2，则平面α与β的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给向量可知其数量积为零，故知两向量垂直. 【详解】因为a⋅b=（2,4,−3)⋅(−1,2,2)=0，所以a⊥b，所以两平面垂直. 【点睛】本题主要考查了平面的法向量，向量的数量积，利用法向量判断平面的位置关系，属于中档题. 7.已知△ABC的顶点B，C在椭圆x216+y29=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC上，则△ABC的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 83 D. 16 【答案】D 【解析】 △ABC的顶点B，C在椭圆x216+y29=1上， 顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上， 由椭圆的定义可得：△ABC的周长是4a=44=16． 故答案为：C。 8.下列选叙述错误的是（ ） A. 命题“若x≠1，则x2−3x+2≠0”的逆否命题是“若x2−3x+2=0，则x=1” B. 若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题 C. “若am22”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据四种命题的关系及且或命题的真假逐一判断各选项即可. 【详解】由逆否命题概念知A选项正确，根据或命题真假可知p,q至少一个命题为真，故p，q均为真命题错误，C选项中，原命题的否命题为“若am2≥bm2,则a>b ”，当m=0时，am2≥bm2成立，推不出a>b，命题不成立，是假命题，D选项中x>2能推出x2-3x+2>0成立，x2-3x+2>0推不出x>2，所以“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件，所以选B. 【点睛】本题主要考查了四种命题的关系，含且或命题的真假，及充分必要条件，属于中档题. 9.如图，空间四面体D−ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则FE⋅DC等于（ ） A. 14 B. −14 C. 34 D. −34 【答案】A 【解析】 试题分析：∵空间四面体D一ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点 ∴FE=12DB,|DB|=|DC|=1,∠BDC=π3 ∴FEDC=12DBDC=1211cosπ3=14 考点：平面向量数量积的运算 10.设F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作倾斜角为30的直线交C于A、B两点，则AB=（ ） A. 323 B. 16 C. 32 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】 写出直线方程，联立抛物线方程消元，可根据弦长公式求出弦长. 【详解】由题意知F（2,0），AB所在直线方程为y=tan30(x−2)=33(x−2) ，联立y2=8x消元得y2−83y−16=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=83,y1⋅y2=−16，所以|AB|=1+3643+416=32，故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题. 11.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲 【答案】C 【解析】 甲 乙 丙 丁 甲 √ √ √ 乙 √ 丙 √ √ 丁 √ √ √ 由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙，选B. 12.如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30∘，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A. 3 B. 1 C. 23 D. 2 【答案】A 【解析】 若是椭圆，则|DA|+|DB|=2a，|AC|=2c ，|DA|=3|DB|，|AB|=2|DB| ，而椭圆的离心率e1=ca=|AB||DA|+|DB|=2|DB|3|DB|+|DB|=3−1 ，若是双曲线，则|DA|−|DB|=2a，e2=ca=|AB||DA|−|DB|=2|DB|3|DB|−|DB|=3+1，所以1e1+1e2=13−1+13+1=3+12+3−12=3，故选A. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知向量a=−1,x,3，b=2,−4,y，且a∥b，那么x+y等于_________ 【答案】-4 【解析】 【分析】 根据向量平行，可求出x,y,即可求解. 【详解】∵     a//b ∴       a=λb ,即−1=2λx=−4λ3=λy ，解得x=2y=−6 ，∴     x+y=−4. 【点睛】本题主要考查了向量平行及向量的坐标运算，属于中档题. 14.平面内动点P到点F0,2的距离和到直线：y=−2的距离相等，则动点P的轨迹方程为是____________________________________ 【答案】x2=8y 【解析】 【分析】 根据抛物线定义知，动点轨迹为抛物线，焦点F,准线为y=−2，p=4，即可写出抛物线方程. 【详解】由题意知，该点轨迹是以F（0,2）为焦点，y=−2为准线的抛物线，其中p=4，所以方程为x2=8y. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. 15.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第xx次互换座位后，小兔的座位对应的编号为______________ 【答案】2 【解析】 【分析】 根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解. 【详解】由图，经过4次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，因为2018=4504+2，所以经过xx次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置. 【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断. 16.已知椭圆C：x24+y2=1，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，则PF1⋅PF2的范围为______________ 【答案】−2,1 【解析】 【详解】由题意，得x24+y2=1的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0)，设P(2cosθ,sinθ)，则PF1=(-3-2cosθ,-sinθ)⋅PF2=(3-2cosθ,-sinθ)，PF1⋅PF2=(-3-2cosθ)(3-2cosθ)+sin2θ=sin2θ+4cos2θ-3=3cos2θ-2；又因为0≤cos2θ≤1，所以-2≤3cos2θ-2≤1，即PF1⋅PF2 范围为[-2,1]. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算. 三、解答题（共6小题，共70分） 17.设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线； 命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0 （1）写出命题q的否定q； （2）若“p且q”为真，求实数的取值范围。 【答案】（1）q：对任意的x∈R，x2−4x+a≥0;（2）4,7 【解析】 【分析】 （1）根据命题否定特征即可写出（2）由题意知p真q假，分别得出相应条件求交集即可. 【详解】（1）q：对任意的x∈R，x2-4x+a≥0 （2）因为“p且q”为真 所以p真，q真 又p真时，a+6a-7<0 得-60，用综合法证明：a3+b3≥a2b+ab2； （2）用分析法证明：6+7>22+5. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题目可采用作差法求证（2）用分析法，采用平方的方法可证明 【详解】（1）∵        a3+b3−(a2b+ab2)=a2(a−b)+b2(b−a) =(a−b)(a2−b2)=(a−b)2(a+b) 而(a−b)2≥0   ，a+b>0 ∴         a3+b3−(a2b+ab2)≥0 ∴    a3+b3≥a2b+ab2 （2）要证6+7>22+5，只需证(6+7)2>(22+5)2， 即证42>210，只需证(42)2>(210)2，即42>40，而42>40显然成立，故原不等式得证. 【点睛】本题主要考查了证明方法中的综合法及分析法，属于中档题.用分析法证明问题时，注意证明的格式，是从结论出发寻求结论成立的条件. 19.如图，EA⊥面ABC，BD⊥面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点， （1）求直线EM与CD所成角的大小； （2）求直线EM与平面BCD所成角的余弦值。 【答案】（1）90（2）63 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角计算即可（2）利用直线上的向量与平面的法向量的夹角即可得出. 【详解】如图，以点C为坐标原点，以CA、CB所在的直线分别为x轴、y轴，过点C与平面ABC垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则C0,0,0， A2,0,0， B0,2,0， E2,0,1，D0,2,2，M1,1,0 （1）EM=-1,1,-1， CD=0,2,2 所以cosθ=cos=0 所以直线EM与CD所成角的大小为90； （2）EM=-1,1,-1，平面BCD的法向量可取n=1,0,0 所以sinθ=cos=13=33,∴   cosθ=1−sin2θ=63 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的夹角公式，属于中档题题.求线面角时，取斜线上任意一向量，求其与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值，即为线面角的正弦值. 20.（1）已知曲线y=x3，求曲线在x=1处的切线方程； （2）已知直线y=kx−1与曲线y=lnx相切，求k的值。 【答案】（1）3x−y−2=0 （2）1 【解析】 【分析】 （1）利用导数几何意义求斜率即可（2）设切点为x0,y0，根据两函数在该点导数相等及该点为公共点列方程组即可求解. 【详解】（1）切点为1,1 又y=3x2 所以k切=3 所以切线方程为：3x-y-2=0 （2）设切点为x0,y0，又y=1x 所以y0=kx0+1k=1x0y0=lnx0⇒x0=1y0=0k=1 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题. 21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60∘，PA⊥面ABCD，PA=4，F是棱PA上一点，且AF=1，E为PD的一个靠近D点的三等分点。 （1）求证：CE∥面BDF （2）求平面BDF与平面PAD所成的锐二面角的余弦值。 【答案】（1）见解析；（2）1510 【解析】 【分析】 （1）以AD，AP所在的直线分别为y轴、轴，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系，求平面BDF的法向量，可证明与CE垂直，从而得证（2）求出两个平面的法向量，求其夹角余弦值即可得出二面角的余弦值. 【详解】以点A为坐标原点，以AD，AP所在的直线分别为y轴、轴，建立空间直角坐标系如图。 则A0,0,0，D0,4,0，P0,0,4，F0,0,1，B23,-2,0，C23,2,0 （1）CE=CD+13DP=-23,23,43 设面BFD的法向量为n=x,y,z，又BD=-23,6,0，DF=0,-4,1 所以-23x+6y=0-4y+z=0 取y=1 得n=3,1,4 所以CE⋅n=-6+23+163=0 即CE⊥n 又CE⊄面BDF 所以CE∥面BDF （2）由（1）面BFD的法向量为n=3,1,4 又面PAD的法向量可取n1=1,0,0 所以cosθ=cos=33+1+16⋅1=1510 【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线与平面平行，利用空间向量求两个平面的二面角，属于中档题.利用向量法求二面角时，注意法向量的夹角余弦与二面角余弦的关系，可能相等，也可能互为相反数. 22.已知椭圆C以F1−1,0，F21,0为焦点，且离心率e=22 （1）求椭圆C的方程； （2）过M0,2点斜率为k的直线l1与椭圆C有两个不同交点P、Q，求k的范围； （3）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在直线l1，满足（2）中的条件且使得向量OP+OQ与AB垂直？如果存在，写出l1的方程；如果不存在，请说明理由。 【答案】(1)x22+y2=1；(2)-∞,-22∪22,+∞；(3)答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意可得c,根据离心率可求出,即可写出方程（2）写出直线方程，联立方程组消元，通过判别式大于0求得k的取值范围（3）利用向量的坐标，可计算OP+OQ与AB的数量积为0时，k不满足Δ>0,故不存在. 【详解】（1）设椭圆C的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、b、 由题设知：c=1 由e=ca=1a=12，得a=2， 则b=1 ∴椭圆C的方程为x22+y2=1 （2）过M0,2点斜率为k的直线l1：y-2=kx 即l1：y=kx+2 与椭圆C方程联立消y得2k2+1x2+42x+2=0…“*” 由l1与椭圆C有两个不同交点知 其Δ=32k2-82k2+1>0得k<-22或k>22 ∴k的范围是-∞,-22∪22,+∞ （3）设Px1,y1、Qx2,y2，则x1、x2是“*”的二根 则，则 则 由题设知、，∴ 若，须 得 ∴不存在满足题设条件的. 【点睛】本题主要考查了椭圆的方程、离心率，直线与椭圆的位置关系，属于难题.设直线方程时，要考虑斜率存不存在两种情况，最后还要考虑计算出的k是否符合条件.