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2.2.1 对数与对数的运算
【双向目标】
课程目标
学科素养
A. 理解对数概念，会进行对数式与指数式的互化
B.了解对数的换底公式及其推导，能应用对数换底公式进行化简、求值、证明
C.会利用对数运算性质进行化简计算；
a数学抽象：对数概念的理解
b逻辑推理：会进行对数式与指数式的互化
c数学运算：会利用对数的换底公式及相关运算性质化简求值
d 直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法
e 数学建模：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识点1：对数的概念
（1） 若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.
（2）负数和零没有对数.
（3）对数式与指数式的互化：
（4） 指数式与对数式的互化规律：底数保持不变
知识点2：几个重要的对数恒等式
，，
知识点3：常用对数与自然对数
常用对数：，即；
自然对数：，即
(其中)
知识点4：对数的运算性质
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1) ;
(2) ;
(3). (4)
知识点5：对数的换底公式
(,且,,且,)
推论 (,且,,且,,).
(＞0,且 ＞0).
知识点6：指数恒等式
知识点7：对数恒等式
1.设，则（ ）
A.-2
0，且y≠1)，则必有( )
A． B．
C． D．
【解析】由指数式和对数式的互化可得。选D。
【答案】D
2.2-3=化为对数式为( )
A. B. C. D.
【解析】根据对数的定义可知选C.
【答案】C
探究二 对数运算性质的应用
例2：【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊模拟考试数学（文）试题】
__________．
【点评】本题主要考查对数的运算法则，意在考查计算能力，属于简单题，解答过程注意避免计算错误.
【变式训练】
1. 【山东省济宁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题】__________．
【解析】 由。
【答案】7
2.若,则用含a的代数式可表示为 ( )
A.a-2 B.3a-(1+a)2 C.5a-2 D.3a-a2
【解析】选A.因为3a=2,所以a=log32,log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+1)=a-2.
【答案】A
探究三 换底公式的应用
例3：已知，，则__________（用含，的代数式表示）．
【点评】利用换底公式化简求值时应注意的问题
(1)针对具体问题，选择恰当的底数 (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用.
(3)换底公式的正用与逆用. (4)恰当应用换底公式的两个常用结论.
【变式训练】
1．【重庆市中山外国语学校2017-2018学年高二下学期期末数学（文）试题】设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，.
故选：B.
【答案】B
2．【北京市西城13中2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题】已知， ，那么用含， 的代数式表示为
【解析】由换底公式可得： .
【答案】
探究四 对数运算的综合应用
例4：计算：________．
【分析】由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果
【解析】由对数的运算法则有：.
【答案】
【点评】本题主要考查对数的运算法则，对数恒等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【变式训练】
1.【黑龙江省大庆市2018届高三第二次教学质量检测理科数学试题】已知，若，则__________．
【解析】∵∴
∴故答案为.
【答案】2.
2.计算.
．
【答案】
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1
B
2，13
10,14
C
4,5,15
3,6,7,8,9
1.若xlog3 2011＝1，则2 011x＋2 011－x＝ ( )．
A. B.
C．6 D.
【解析】由题可知，由xlog32 011＝log32 011x＝1，所以2 011x＝3，所以2 011－x＝.
即2 011x＋2 011－x＝；
【答案】D
2..若，则等于 ( )．
A．-3.7169 B．-3+0.7169
C．-3+0.2831 D．-2.7169
【解析】由题可知，.
【答案】B
3.若，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.
4.奇函数满足，当时，，则
A． -2 B． C． D． 2
【答案】A
5．已知函数，若，则________．
【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.
【答案】-7
6.已知，，则的值等于_________.
【解析】由，可得，则，故答案为.
【答案】2
7.已知函数，则__________．
【解析】根据解析式，，故填1.
【答案】1
8.已知a＝log32则log38－2log36用a可表示为________．
【解析】由题可知，log38－2log36＝3log32－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
【答案】a-2
9.已知m>0，若10x＝lg(10m)＋lg ，则= .
【解析】由题可知，由10x＝lg(10m)＋lg ，可得10x＝lg 10＝1，∴x＝0.
【答案】0
10.计算= .
【解析】由题可知，原式＝＝＝－3.
【答案】-3
11.计算log43log92－=
【解析】由题可知，log43log92－＝－＝log23log32＋log22＝＋＝.
【答案】
12.计算lg－lg＋lg；
【解析】(1)法一 原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
法二 原式＝lg －lg 4＋lg 7＝lg ＝lg ()＝lg ＝.
【答案】
13.已知， ，则用表示
【解析】，故选A
【答案】A
14.设，求的值．
【答案】1
15.若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)(logab＋lobba)的值．
＝(lg a＋lg b)
＝2＝12，
即lg(ab)(logab＋logba)＝12.
【答案】12
2019届高中数学 专题2.2.1 对数与对数的运算视角透析学案 新人教A版必修1.doc
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