2019-2020年高中数学人教B版选修4-1教学案：第二章 章末小结.doc
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2019-2020年高中数学人教B版选修4-1教学案：第二章 章末小结 [对应学生用书P43] 平行投影 平行投影关键在于注意角度的变换及运动变化和发展的观点的应用，并由此来处理有关图形的投影问题．如一个圆在平面上的平行投影可能是一个圆，一个椭圆或者是一条线段，但是由于缺乏具体的量的关系，我们对所成的椭圆不能做出具体的量的关系．将圆与平面立体化就形成了平面与圆柱的截面问题． [例1] 已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的正投影为A′(A′不在边BC上)．当∠BAC＝60时、AB、AC与平面α所成的角分别是30和45时，求cos∠BA′C. [解] 由题意，∠ABA′＝30，∠ACA′＝45. 设AA′＝1，则A′B＝，A′C＝1，AC＝，AB＝2， ∴BC＝ ＝， cos∠BA′C＝＝. 圆柱面、圆锥面的平面截线 (1)由两个等圆的内公切线与两条外公切线的交点，切点之间的量的关系具体化，就可以得到相应的数量关系，将其进一步拓广到空间之中就得到了平面与圆柱的截面问题． (2)在平面中：由与等腰三角形的两条腰的交点问题进一步推广到空间中的平面与圆锥面的交线问题所采用的方法与以前的平行投影和平面与圆柱面的截面问题相同．从不同的方向不同的位置用平面去截圆锥面，其截面的形状不同，由此我们可以得到定理，并可以利用Dandelin双球对定理的结论进行证明和研究其特点． [例2] 如图所示，用一个平面分别与球O1、O2切于F1、F2，截圆柱面于G1、G2点，求证所得的截面为椭圆． [证明] 如图所示由平面图形的性质可知， 当点P与G1或G2重合时， G2F1＋G2F2＝AD， G1F1＋G1F2＝AD. 当P不与G1、G2重合时， 连接PF1、PF2， 则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点分别为F1、F2. 过P作圆柱面的母线，与两个球分别相交于K1、K2二点， 则PK1、PK2分别为两个球的切线，切点为K1、K2. 由切线长定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2. 所以有PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2. 由于AD为定值且AD>F1F2，故点P的轨迹为椭圆． 一、选择题 1．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的正投影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是( ) A．垂直 B．异面 C．相交 D．不能确定 解析：当这条直线在平面内时，则A成立，当这条直线是平面的垂线，则B或C成立，故选D. 答案：D 2．在空间，给出下列命题： (1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面内的正投影相等． (2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面内的正投影垂直． (3)一条斜线和它在平面内的正投影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角． (4)若点P到△ABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC内的正投影是△ABC的内心． 其中，正确的命题是( ) A．(3) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4) 解析：由平行投影的性质知，当两条线段与平面所成的角相等时，才有(1)正确，在(2)中这条直线在平面外时不正确，(3)显然正确；(4)中P点有可能是△ABC的旁心． 答案：A 3．一平面截圆锥面的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到圆锥顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为( ) A. B． C. D． 解析：如图为圆锥面的轴截面，则AB＝8，SA＝6，SB＝10， ∴∠SAB＝90， ∴cos∠ASB＝， ∴cos∠ASP＝cos＝ ＝ ＝. ∴cos∠BPH＝sin∠ASP＝ ＝ ＝. ∴椭圆离心率e＝＝＝. 答案：C 4．边长为2的等边三角形所在平面与平面α所成的角为30，BC⊂α，A在α内的正投影为O，则△BOC的面积为( ) A. B． C. D． 解析：取BC的中点D，连接AD，OD，则∠ADO为二面角的平面角，∠ADO＝30， ＝＝cos30＝，又S△ABC＝， ∴S△BOC＝. 答案：B 二、填空题 5．P为△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，又PA与BC垂直，那么△ABC的形状可能是________． ①正三角形 ②等腰三角形 ③非等腰三角形 ④等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上) 解析：设点P在底面ABC上的正投影为O，由PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，得OA＝OB＝OC，即点O为△ABC的外心，又由PA⊥BC，得OA⊥BC，得AO为△ABC中BC边上的高线，所以AB＝AC，即△ABC必为等腰三角形，故应填①②④. 答案：①②④ 6．两个大小不等的球相交，交线为________． 答案：圆 7．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝.则PA与底面ABC所成角为________． 解析：P在底面ABC的正投影为BC中点D，设PA＝PB＝PC＝2，则PD＝，AP＝2，∴∠PAD＝. 答案： 8．一圆柱面底半径为2，一截面与轴成60，从割平面上、下放入圆柱面的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离等为________． 解析：由已知可知截线为一个椭圆，并且其长轴长为 2a＝＝＝，短轴长为2b＝22＝4， 所以2c＝＝ ＝. 答案： 三、解答题 9．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120，当圆锥的一截面与轴成45角时，求截得二次曲线的形状及离心率． 解：由题意知α＝60，β＝45，满足β<α，这时截面截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝＝. 10．如图所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，A′是A在平面BCD上的正投影． 求证：A′不可能是△BCD的垂心． 证明：假设A′为△BCD的垂心， 则A′B⊥CD. 又因为AA′⊥平面BCD于A′，则AB⊥CD. 又因为DA⊥平面ABC，则AD⊥AB，所以AB⊥AC， 这与△ABC是斜三角形的已知条件相矛盾， 故A′不可能是△BCD的垂心． 11．已知圆锥面S，其母线与轴线的夹角为30，又有一平面α与圆锥面的轴线成45角并相交于点C，且SC＝6，一球与圆锥面相切并在平面α的上方与平面α相切．求此内切球的半径，并画出它的直观图． 解：设内切球的球心为O，半径为R，且设球O与锥面一个切点为P，球O与平面α切于M. 在Rt△SPO中 ，OP＝R，∠PSO＝30，所以SO＝2R. 在Rt△OMC中，∠OCM＝45， 所以OC＝＝＝R. 又SC＝6＝SO＋OC＝2R＋R， 所以R＝3(2－)，其直观图为如图： [对应学生用书P47] (时间90分钟，总分120分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．线段AB、CD在同一平面内的正投影相等，则线段AB、CD的长度关系为( ) A．AB>CD B．AB
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