全国通用版2019版高考数学一轮复习第二单元函数的概念及其性质学案理.doc

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全国通用版2019版高考数学一轮复习第二单元函数的概念及其性质学案理 函数的基本概念 函数 映射 两集合A，B 设A，B是非空的数集 设A，B是非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B 3．已知函数f(x)＝则f＝(　　) A．－2 B．4 C．2 D．－1 解析：选A　因为函数f(x)＝ 所以f＝2＋16＝4， 则f＝f(4)＝log4＝－2. 4．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：选A　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝. [清易错] 1．解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数． 1．(xx合肥八中模拟)已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则(　　) A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2) B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4) C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2) D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4) 解析：选B　因为f(x)＝2x＋1，所以f(x－1)＝2x－1.因为函数f(x)的定义域为[1,3]，所以1≤x－1≤3，即2≤x≤4，故f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)． 2．下列对应关系： ①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根； ②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数； ③A＝R，B＝R，f：x→x2－2； ④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方． 其中是A到B的映射的是(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 解析：选C　由映射的概念知①中集合B中有两个元素对应，②中集合A中的0元素在集合B中没有对应，③④是映射．故选C. 函数定义域的求法 [过双基] 函数y＝f(x)的定义域 1.函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为________． 解析：由⇒⇒0＜x≤2， 故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2] 2．函数y＝lg(1－2x)＋的定义域为________． 解析：由题意可知求解可得－3≤x<0， 所以函数y＝lg(1－2x)＋的定义域为[－3,0)． 答案：[－3,0) [清易错] 1.求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件. 2.求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围. 1．(xx辽宁锦州模拟)已知函数f(x2－3)＝lg，则f(x)的定义域为________． 解析：设t＝x2－3(t≥－3)，则x2＝t＋3，所以f(t)＝lg＝lg，由>0，得t>1或t<－3，因为t≥－3，所以t>1，即f(x)＝lg的定义域为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) 2．已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为________． 解析：因为函数f(x)的定义域为[0,2]， 所以对于函数f(2x)，0≤2x≤2，即0≤x≤1， 又因为8－2x≥0，所以x≤3， 所以函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为[0,1]． 答案：[0,1] 函数的单调性与最值 [过双基] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1．(xx珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　) A．y＝2－x　　　　　　　 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝－ 解析：选B　由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数． 2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 解析：选A　由于f(x)＝|x－2|x＝ 作出函数f(x)的图象如图， 则结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]． 3．(xx长春质量检测)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选A　因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1. 4．已知定义在R上的函数f(x)为增函数，当x1＋x2＝1时，不等式f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1)恒成立，则实数x1的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B. C. D．(1，＋∞) 解析：选D　若f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1)， 则f(x1)－f(x2)>f(1)－f(0)． 又由x1＋x2＝1， 则有f(x1)－f(1－x1)>f(1)－f(0)． 又由函数f(x)为增函数， 则不等式f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1)恒成立可以转化为解得x1>1. 5．函数f(x)＝的最大值为________． 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2. 答案：2 [清易错] 1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝. 1．函数f(x)＝在(　　) A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 解析：选C　函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数． 2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________． 答案：[－1,1]，[5,7] 函数的奇偶性 [过双基] 1．定义及图象特征 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2．函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 1．下列函数中的偶函数是(　　) A．y＝2x－ B．y＝xsin x C．y＝excos x D．y＝x2＋sin x 解析：选B　因为f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，故选B. 2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝3x－1，则f(9)＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 解析：选D　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x∈[0,2]时，f(x)＝－f(－x)＝－3－x＋1；设x－2＝t，则x＝t＋2，则f(x－2)＝f(x＋2)可化为f(t)＝f(t＋4)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(9)＝f(1)＝. 3．(xx绵阳诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f(1) C．f(m)＝f(1) D．f(m)与f(1)大小不能确定 解析：选A　由题意可知－3－m＋m2－m＝0， 所以m＝3或m＝－1， 又因为函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数， 所以2－m是奇数，且2－m>0， 所以m＝－1，则f(x)＝x3，定义域为[－2,2]且在[－2,2]上是增函数， 所以f(m)0时，－x<0， ∴f(－x)＝log2x＝f(x)． 当x<0时，－x>0， f(－x)＝log2(－x)＝f(x)． 故f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 答案：偶函数 函数的周期性 [过双基] 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． 3．重要结论 周期函数的定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|. 若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期． 4．对称性与周期的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期． 1．已知函数f(x)＝则f(－5)的值为(　　) A．0 B. C．1 D. 解析：选B　由f(x)＝可得f(－5)＝f(1)＝sin ＝. 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：选C　由f(－x)＝－f(x)可得函数f(x)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)． 令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t＋2)＝－f(t)， 则f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)， 即函数f(x)的最小正周期为4. 又因为当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)， 所以f(31)＝f(31－48)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1. 3．(xx晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________. 解析：∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)， ∴当x＝－3时， 有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0， ∴f(－3)＝0，f(3)＝0， ∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6. 故f(2 017)＝f(1)＝2. 答案：2 [清易错] 在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的使用而致误. 　已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________. 解析：由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)． 故函数f(x)的周期为4. ∴f(105.5)＝f(427－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3， ∴f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 答案：2.5 一、选择题 1．函数f(x)＝lg(x－1)－的定义域为(　　) A．(－∞，4]　　　　　　 B．(1,2)∪(2,4] C．(1,4] D．(2,4] 解析：选C　由题意可得解得1f(x2)”，则f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1) 解析：选C　根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A； 对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B； 对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，C正确； 对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 7．已知函数f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C. D. 解析：选D　令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知y＝logt在其定义域上单调递减，要使f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即所以即－0，则－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝－＝9x＋－7.由基本不等式得9x＋－7≥2－7＝－6a－7，由f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，只需－6a－7≥a＋1，即a≤－，结合a≤－1，所求a的取值范围是. 答案： 11．设f(x)＝x3＋log2(x＋)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)． 解析：因为f(－x)＝－x3＋log2(－x＋)＝－x3＋log2＝－x3－log2(x＋)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，易知函数f(x)在R上是增函数， 因为a＋b≥0，所以a≥－b， 所以f(a)≥f(－b)＝－f(b)，即f(a)＋f(b)≥0，反之亦成立， 因此，对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的充要条件． 答案：充要 12．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________. 解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2， 则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0. ∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ＝f＋0＋f＋f(0)＋f ＝f－f＋f(0)＋f ＝f＋f(0) ＝2－1＋20－1 ＝－1. 答案：－1 三、解答题 13．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象． 解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得 解得a＝－1，b＝1， 所以f(x)＝ (2)f(x)的图象如图所示： 14．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数． ∴f(π)＝f(－14＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示． 设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S， 则S＝4S△OAB＝4＝4. 高考研究课(一)函数的定义域、解析式及分段函数 [全国卷5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 函数的概念 5年1考 函数定义问题 分段函数 5年3考 分段函数求值及不等式恒成立问题 函数的定义域问题 [典例]　(1)(xx长沙模拟)函数y＝的定义域是(　　) A．(－1，＋∞)　　　　　 B．[－1，＋∞) C．(－1,2)∪(2，＋∞) D．[－1,2)∪(2，＋∞) (2)若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________． [解析]　(1)由题意知，要使函数有意义，需即－12，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C. (2)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案]　(1)C　(2)[－1,0] [方法技巧] 函数定义域问题的3种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．　　 [即时演练] 1．函数f(x)＝＋lg 的定义域为(　　) A．(2,3) B．(2,4] C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6] 解析：选C　由题意得解得21，则满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 3．已知函数f(x)＝若f(f(m))≥0，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[－2,2]∪[4，＋∞) C．[－2,2＋] D．[－2,2＋]∪[4，＋∞) 解析：选D　令f(m)＝n，则f(f(m))≥0就是f(n)≥0.画出函数f(x)的图象可知，－1≤n≤1或n≥3，即－1≤f(m)≤1或f(m)≥3.由1－|x|＝－1得，x＝2或x＝－2.由x2－4x＋3＝1得，x＝2，由x2－4x＋3＝3得，x＝0或x＝4.再根据图象得到，m∈[－2，2＋]∪[4，＋∞)． 角度三：研究分段函数的性质 4．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 解析：选D　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x) 在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x＞0时，f(x)＞1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D. 5．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－∞，＋∞) 解析：选A　当x≤0时，f(x)＝2－x－1， 当00时，f(x)是周期函数， 如图所示． 若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点， 故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)． [方法技巧] 分段函数问题的3种类型及求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． (3)研究分段函数的性质 可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断．　　 1．(xx全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 解析：选D　函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)． 函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 2．(xx全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3　　　　B．6　　　　　C．9　　　　　D．12 解析：选C　∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. 3．(xx全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A　由于f(a)＝－3， ①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1. 由于2x>0，所以2a－1＝－1无解； ②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3， 解得a＋1＝8，a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－. 综上所述，f(6－a)＝－. 4．(xx全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 解析：选D　当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)＞ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故选D. 一、选择题 1．(xx广东模拟)设函数f(x)满足f＝1＋x，则f(x)的表达式为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　令＝t，则x＝，代入f＝1＋x，得f(t)＝1＋＝，即f(x)＝，故选A. 2．函数f(x)＝的定义域是(　　) A. B.∪(0，＋∞) C. D．[0，＋∞) 解析：选B　由题意，得解得－0. 3．(xx福建调研)设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 017)＝(　　) A．0 B．1 C．2 017 D．2 018 解析：选D　令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝11－1－0＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 017)＝2 018. 4．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝(　　) A．2 B．0 C．1 D．－1 解析：选A　令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，① 令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，　　 　② 联立①②得f(1)＝2. 5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 解析：选B　设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， ∴解得 ∴g(x)＝3x2－2x. 6．(xx青岛模拟)已知函数f(x)＝则使f(x)＝2的x的集合是(　　) A. B. C. D. 解析：选A　由题意可知，f(x)＝2，即或解得x＝或4，故选A. 7．(xx莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　要使函数y＝有意义，需满足⇒⇒≤x<2.故选B. 8．(xx武汉调研)函数f(x)＝满足f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值为(　　) A．1或－ B．－ C．1 D．1或 解析：选A　∵f(1)＝e1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2， ∴f(a)＝1， 当－10对任意实数x恒成立， 若k＝0，不等式化为4x＋3>0，即x>－，不合题意； 若k≠0，则解得k>1. ∴实数k的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) 11．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝ 其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号) 解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意； 对于②，f＝＋x＝f(x)≠－f(x)，不满足题意； 对于③，f＝ 即f＝故f＝－f(x)，满足题意． 答案：①③ 12．(xx北京高考)设函数f(x)＝ ①若a＝0，则f(x)的最大值为________； ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________． 解析：当x≤a时，由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1. 如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象． ①若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2. ②当a≥－1时，f(x)有最大值； 当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以a<－1. 答案：①2　②(－∞，－1) 三、解答题 13．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ (1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式． 解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， 因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x>0时，g(x)＝x－1， 故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当x<0时，g(x)＝2－x， 故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. 所以f(g(x))＝ 当x>1或x<－1时，f(x)>0， 故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2； 当－10. 解得t>或t<， 从而00，v(t)单调递增； 当t∈(9,10)时，v′(t)<0，v(t)单调递减． 所以当t＝9时，v(t)的最大值v(9)＝3e9＋50＝150(亿立方米)， 故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米． 1．已知函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零点的和为(　　) A. B．22n－1＋2n－1 C. D．2n－1 解析：选B　因为函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以m≥1. 又因为对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，且函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图象连续，所以m＝1. 如图所示，函数g(x)＝f(x)－x在区间 [0,2n](n∈N*)上的所有零点分别为0,1,2,3，…，2n， 所以所有的零点的和等于＝22n－1＋2n－1. 2．设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直线y＝k(x－1)(k<0)与函数y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解析：选C　作出函数f(x)＝的图象如图所示． 因为直线y＝k(x－1)(k<0)与函数y＝f(x)的图象只有三个不同的交点， 所以解得－10在(0，＋∞)内恒成立，故y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，故选A. 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5x 解析：选A　y＝在区间(0，＋∞)上为增函数，A项符合题意；y＝(x－1)2在(0,1)上为减函数，y＝2－x，y＝log0.5x在(0，＋∞)上都是减函数，故B、C、D选项都不符合题意． 3．(xx广东佛山联考)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的单调性． 解：法一：(定义法) 设－10，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0. 又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， 故函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 法二：(导数法) f′(x)＝ ＝＝＝－. ∵a>0，x∈(－1,1)， ∴f′(x)<0. ∴f(x)在(－1,1)上是减函数． [方法技巧] 确定函数单调性的常用方法 定义法 先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论 图象法 若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性 导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性 [提醒]　复合函数y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数． 角度二：求函数的值域或最值 4．函数y＝2x2＋2x的值域为(　　) A. B．[2，＋∞) C. D．(0,2] 解析：选A　因为x2＋2x≥－1，且y＝2t是增函数， 所以y＝2x2＋2x≥， 因此函数y＝2x2＋2x的值域是. 5．(xx北京高考)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________． 解析：f′(x)＝＝－， 当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数，故f(x)max＝f(2)＝＝2. 答案：2 [方法技巧] 利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性，而判断方法常用定义法及导数法．　　 角度三：比较两个函数值 6．(xx天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a0时，f(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)>0. 又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)， 20．8<2＝log24x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 解析：选D　由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<f>f(e)， ∴b>a>c. [方法技巧] 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．　　 角度四：解函数不等式 8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)5，即x<－2或x>3. 9．已知函数f(x)＝若f(a)>f(2－a)，则a的取值范围是________． 解析：作出函数f(x)＝的图象，如图所示，显然函数f(x)是增函数，所以不等式f(a)>f(2－a)等价于a>2－a，则a>1. 答案：(1，＋∞) [方法技巧] 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　 角度五：利用单调性求参数的取值范围 10．(xx济宁模拟)函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为____________． 解析：由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得a∈[4,8)． 答案：[4,8) [方法技巧] 利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．　　 函数的奇偶性 [典例]　(1)(xx重庆适应