安徽省2019年中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第四章 三角形 4.5 解直角三角形测试.doc

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4.5　解直角三角形 [过关演练]　(30分钟　　70分) 1.cos 60的值等于 (D) A.3 B.1 C.22 D.12 【解析】根据特殊角的三角函数值,可得cos 60=12. 2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin α的值是 (C) A.35 B.34 C.45 D.43 【解析】作AB⊥x轴于点B,由勾股定理得OA=5,在Rt△AOB中利用正弦的定义得出sin α=ABOA=45. 3.如图,已知AD是等腰△ABC底边上的高,且sin B=45.点E在AC上,且AE∶EC=2∶3,则tan ∠ADE= (D) A.13 B.23 C.25 D.12 【解析】作EF∥CD交AD于点F,∵sin B=sin C=ADAC=45,∴设AD=4x,则AC=5x,CD=3x.∵AEEC=AFDF=AD-DFDF=23,∴DF=125x,AF=85x,∵AFAD=EFCD=25,∴EF=65x,∴tan ∠ADE=EFDF=12. 4.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1),AD⊥BC于点D,下列选项中,错误的是 (C) A.sin α=cos α B.tan C=2 C.sin β=cos β D.tan α=1 【解析】∵AD⊥BC,AD=BD,∴α=45,∴sin α=cos α,tan α=1.在Rt△ACD中,CD=1,AD=2,∴AC=12+22=5,∴tan C=ADCD=2,sin β=15=55,cos β=25=255,∴sin β≠cos β. 5.(xx浙江金华)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为 (B) A.tanαtanβ B.sinβsinα C.sinαsinβ D.cosβcosα 【解析】在Rt△ABC中,AB=ACsinα,在Rt△ACD中,AD=ACsinβ,∴AB∶AD=ACsinα∶ACsinβ=sinβsinα. 6.(xx江苏无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值 (A) A.等于37 B.等于33 C.等于34 D.随点E位置的变化而变化 【解析】∵EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,∵EH∥CD,∴△AEH∽△ACD,∴EHAH=CDAD=34.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan ∠AFE=tan ∠FAG=GFAG=3x3x+4x=37. 7.(xx重庆)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 24≈0.41,cos 24≈0.91,tan 24≈0.45)(A) A.21.7米 B.22.4米 C.27.4米 D.28.8米 【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于点M,作CN⊥DM于点N.在Rt△CDN中,∵CNDN=10.75=43,∴设CN=4k,DN=3k,∵CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,MN=BC=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan 24=AMEM,∴0.45=8+AB66,∴AB=21.7(米). 8.在△ABC中,AB=122,AC=13,cos ∠B=22,则BC的边长为 (D) A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 【解析】∵cos ∠B=22,∴∠B=45,当△ABC为钝角三角形时,如图1,∵AB=122,∠B=45,∴AD=BD=12,∵AC=13,∴由勾股定理得CD=5,∴BC=BD-CD=12-5=7;当△ABC为锐角三角形时,如图2,∴BC=BD+CD=12+5=17.综上,BC的长为7或17. 9.在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD是斜边AB的中线,CD=5,AC=6,则sin B的值是35　. 【解析】∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB的中线,CD=5,∴AB=2CD=10,∴sin B=ACAB=610=35. 10.(xx北京)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC　>　∠DAE.(填“>”“=”或“<”) 【解析】如图,连接NH,BC,过点N作NP⊥AD于点P,S△ANH=22-12122-1211=12AHNP,32=52PN,PN=35,在Rt△ANP中,sin ∠NAP=PNAN=355=35=0.6,在Rt△ABC中,sin ∠BAC=BCAB=222=22>0.6,∵正弦值随着角度的增大而增大,∴∠BAC>∠DAE. 11.(xx浙江宁波)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若∠EMD=90,则cos B的值为3-12　. 【解析】延长DM交CB的延长线于点H,连接ED.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC=AB=2,AD∥CH,∴∠ADM=∠H,∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,∴△ADM≌△BHM,∴HB=AD=2,HM=DM,∵EM⊥DH,∴EH=ED,设BE=x,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠AEB=∠EAD=90,∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,∴22-x2=(2+x)2-22,解得x=3-1或-3-1(舍弃),∴cos ∠ABE=BEAB=3-12. 12.如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了　280　米.(参考数据:sin 34≈0.56,cos 34≈0.83,tan 34≈0.67) 【解析】在Rt△ABC中,sin B=ACAB,∴AC=ABsin 34≈5000.56=280(米). 13.(8分)某地铁站口的垂直截图如图所示,已知∠A=30,∠ABC=75,AB=BC=4米,求点C到地面AD的距离.(结果保留根号) 解:过点B作BE⊥AD于点E,作BF∥AD,过点C作CF⊥BF于点F, 在Rt△ABE中,∠A=30, ∴BE=12AB=2(米). ∵BF∥AD,∴∠ABF=∠A=30, 又∵∠ABC=75,∴∠CBF=45. 在Rt△BCF中,CF=BCsin 45=422=22(米). ∴点C到地面AD的距离为(22+2)米. 14.(10分)(xx辽宁抚顺)如图,BC是路边坡角为30,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37和60(图中的点A,B,C,D,M,N均在同一平面内,CM∥AN). (1)求灯杆CD的高度; (2)求AB的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:3≈1.73,sin 37≈0.60,cos 37≈0.80,tan 37≈0.75) 解:(1)延长DC交AN于点H. ∵∠DBH=60,∠DHB=90, ∴∠BDH=30, ∵∠CBH=30, ∴∠CBD=∠BDC=30, ∴CD=BC=10(米). 答:灯杆CD的高度为10米. (2)在Rt△BCH中,CH=12BC=5,BH=53≈8.65, ∴DH=15, 在Rt△ADH中,AH=DHtan37≈150.75=20, ∴AB=AH-BH=20-8.65≈11.4(米). 答:AB的长度为11.4米. [名师预测] 1.∠A,∠B都是锐角△ABC的内角,cos A-32+sinB-322=0,则∠C的度数是 (D) A.30 B.45 C.60 D.90 【解析】由题意得cos A-32=0,sin B-32=0,则cos A=32,sin B=32,故∠A=30,∠B=60,则∠C=180-30-60=90. 2.坡比常用来反映斜坡的倾斜程度,如图所示,斜坡AB的坡比为 (C) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶22 D.22∶1 【解析】∵AB=3,BC=1,∠C=90,∴AC=32-12=22,∴斜坡AB的坡比为BCAC=1∶22. 3.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在☉A上,BD是☉A的一条弦,则sin ∠OBD= (A) A.35 B.34 C.45 D.12 【解析】连接CD,∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4,∵∠COD=90,∴CD=32+42=5,∵∠OBD=∠OCD,∴sin ∠OBD=sin ∠OCD=ODCD=35. 4.如图,在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE,在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45与60,∠CAD=60,在屋顶C处测得∠DCA=90.若房屋的高BC=6米,则树高DE的长度为 (D) A.36米 B.62米 C.33米 D.66米 【解析】∵在Rt△ABC中,∠ABC=90,∠CAB=45,BC=6米,∴AC=2BC=62米;∵在Rt△ACD中,∠DCA=90,∠CAD=60,∴∠ADC=30,∴AD=2AC=122米;∵在Rt△DEA中,∠AED=90,∠EAD=60,∴DE=ADsin 60=66米. 5.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足是E,DE=6,sin A=35,则菱形ABCD的周长是　40　. 【解析】由已知可得△AED为直角三角形,则sin A=DEAD,即35=6AD,解得AD=10,故菱形ABCD的周长为104=40. 6.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90,AC=6,D是AC上一点,若tan ∠DBA=15,则AD的长为　2　. 【解析】过点D作DE⊥AB于点E,∵∠C=90,AC=BC=6,∴AB=2AC=62,∠A=45,在Rt△ADE中,设AE=x,则DE=x,AD=2x,在Rt△BED中,tan ∠DBE=DEBE=15,∴BE=5x,∴x+5x=62,解得x=2,∴AD=22=2. 7.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上,则C处与灯塔A的距离是　25　海里. 【解析】根据题意,∠BCD=30,∵∠ACD=60,∴∠ACB=30+60=90,∵∠CBA=75-30=45,∴△ABC为等腰直角三角形,∵BC=500.5=25,∴AC=BC=25(海里). 8.计算:2cos 30-(xx+π)0+|3tan 30-2|. 解:原式=232-1+|3-2| =3-1+2-3 =1. 9.如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处竖立标杆CD,标杆的高是2 m,在DB上选取观测点E,F,从点E测得标杆和建筑物的顶部C,A的仰角分别为58,45.从点F测得C,A的仰角分别为22,70.求建筑物AB的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 22≈0.40,tan 58≈1.60,tan 70≈2.75) 解:在Rt△CED中,∠CED=58, ∴DE=CDtan58=2tan58, 在Rt△CFD中,∠CFD=22, ∴DF=CDtan22=2tan22, ∴EF=DF-DE=2tan22-2tan58, 同理EF=BE-BF=ABtan45-ABtan70, ∴ABtan45-ABtan70=2tan22-2tan58, 解得AB≈5.9(米), 答:建筑物AB的高度约为5.9米. 10.如图,学校的实验楼对面是一栋教学楼,小敏在实验楼的窗户C处测得教学楼顶部D的仰角是18,教学楼底部B的俯角是20,量得实验楼与教学楼之间的距离是AB=30 m. (1)求∠BCD的度数; (2)求教学楼的高BD. (结果精确到0.1 m,参考数据:tan 18≈0.32,tan 20≈0.36) 解:(1)过点C作CE⊥BD于点E, ∴∠DCE=18,∠BCE=20, ∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18+20=38. (2)由已知得CE=AB=30 m, 在Rt△CBE中,BE=CEtan 20≈300.36=10.80 (m), 在Rt△CDE中,DE=CEtan 18≈300.32=9.60 (m), ∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4 (m). 答:教学楼的高为20.4 m.