2020版高考数学一轮复习 课时规范练41 直线、平面垂直的判定与性质 理 北师大版.doc

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课时规范练41　直线、平面垂直的判定与性质 基础巩固组 1.(2018天津河西区质检三,5)设m是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α,m∥β,则α∥β B.若m∥α,m⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,m∥α,则m⊥β D.若α⊥β,m⊥α,则m∥β 2.(2018重庆八中八模,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段BC1上任意一点,则下列结论正确的是(　　) A.AD1⊥DM B.AC1⊥DM C.AM⊥B1C D.A1M⊥B1C 3.(2018福建罗源一中模拟,12)设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点,且AB=2,EF=1,给出下列四个命题:①三棱锥D1-B1EF的体积为定值;②异面直线D1B1与EF所成的角为45;③D1B1⊥平面B1EF;④直线D1B1与AC1不垂直.其中正确的命题为 (　　) A.①② B.②③ C.①②④ D.①④ 4.(2018全国1,文10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为(　　) A.8 B.62 C.82 D.83 5.(2018吉林四平一模,14)ABCD是正方形,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB,平面PBC,平面PCD,平面PAD,平面ABCD这五个平面中,互相垂直的平面有　　　　　对. 6. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点. (1)求证:AE⊥DA1; (2)在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG. 7. 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,点E在AD上,且AE=2ED. (1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC; (2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的,求点E到平面PBC的距离. 综合提升组 8.(2018云南昆明检测,10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则(　　) A.MN∥C1D1 B.MN⊥BC1 C.MN⊥平面ACD1 D.MN⊥平面ACC1 9.(2018吉林梅河口二模,16)在四面体ABCD中,DA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱BC上一点,且平面ADE⊥平面BCD,则DE=　　　　　. 10.已知正四棱锥P-ABCD内接于半径为的球O中(且球心O在该棱锥内部),底面ABCD的边长为2,求点A到平面PBC的距离. 11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60. (1)求四棱锥F-ADEC的体积; (2)求证:平面ADF⊥平面ACF. 12. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积. (2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE. (3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论. 创新应用组 13. 如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点. (1)证明:AE∥平面BDF; (2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. 参考答案 课时规范练41　直线、平面垂直的判定与性质 1.B　在A中,m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故A错误;在B中,m∥α,m⊥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故B正确;在C中,α⊥β,m∥α,则m与β相交,平行或m⫋β,故C错误;在D中,α⊥β,m⊥α,则m∥β或m⫋β,故D错误,故选B. 2.C　由题得B1C⊥BC1,B1C⊥AB, 因为AB,BC1⫋平面ABM,且AB∩BC1=B, 所以B1C⊥平面ABM,所以AM⊥B1C.故选C. 3.A　由题意得,如图所示, ①中,三棱锥的体积为VD1-B1EF=VB1-D1EF=13S△D1EFB1C1=1312EF22=23,所以体积为定值;②中,在正方体中,EF∥C1D1,所以异面直线D1B1与EF所成的角就是直线D1B1与C1D1所成的角,即∠B1D1C1=45,所以这是正确的;③中,由②可知,直线D1B1与EF不垂直,所以D1B1⊥面B1EF不成立,所以是错误的;④B1D1⊥平面AA1C1C,又AC1⫋平面AA1C1C,可知D1B1与AC1垂直,所以不正确.故选A. 4.C　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,连接BC1,则∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,∠AC1B=30,所以在Rt△ABC1中,BC1=ABtan∠AC1B=23,又BC=2, 所以在Rt△BCC1中,CC1=(23)2-22=22, 所以该长方体体积V=BCCC1AB=82. 5.5　因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD.又因为AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB,同理可得平面PBC⊥平面PAB,平面PAD⊥平面PCD,故互相垂直的平面有5对.故填5. 6.(1)证明 连接AD1,BC1(图略). 由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A, ∴DA1⊥平面ABC1D1. ∵AE⫋平面ABC1D1,∴AE⊥DA1. (2)解 所求点G即为点A1,证明如下: 由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H, 可得DF⊥平面AHE. ∵AE⫋平面AHE,∴DF⊥AE. 又DF∩A1D=D, ∴AE⊥平面DFA1, 即AE⊥平面DFG. 7.(1)证明 ∵AB⊥AC,AB=AC, ∴∠ACB=45. ∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90,AD∥BC, ∴∠ACD=45,∴AD=CD, ∴BC=2AC=2AD. ∵AE=2ED,CF=2FB, ∴AE=BF=23AD, ∴四边形ABFE是平行四边形, ∴AB∥EF. 又AB⊥AC,∴AC⊥EF. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF. ∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC. ∵EF⫋平面PEF, ∴平面PEF⊥平面PAC. (2)解 ∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC, ∴PB=PC, 取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1. 设PA=x,连接PG,则PG=x2+1, ∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的43倍, ∴122PG=4312(1+2)1,即PG=2,求得x=3, ∵AD∥BC,AD⊈平面PBC,BC⫋平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离, ∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC, ∴点E到平面PBC的距离为12PA=32. 8.D　对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点,所以点N∈平面CDD1C1,点M∉平面CDD1C1,所以直线MN是平面CDD1C1的交线, 又因为直线C1D1在平面CDD1C1内,故直线MN与直线C1D1不可能平行,故选项A错;对于选项B,正方体中易知NB≠NC1,因为点M是BC1的中点,所以直线MN与直线BC1不垂直.故选项B不对;对于选项C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1.因为N是CD1的中点,所以MC=MD1.这与MC≠MD1矛盾.故假设不成立.所以选项C不对;对于选项D,分别取B1C1,C1D1的中点P、Q,连接PM、QN、PQ.因为点M是BC1的中点,所以PM∥CC1且PM=12CC1.同理QN∥CC1且QN=12CC1.所以PM∥QN且PM=QN,所以四边形PQNM为平行四边形.所以PQ∥MN.在正方体中,CC1⊥PQ,PQ⊥AC.因为AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1,CC1⊂平面ACC1,所以PQ⊥平面ACC1.因为PQ∥MN,所以MN⊥平面ACC1.故选D. 9.135　过A作AH⊥DE,因为平面ADE⊥平面BCD,且平面ADE⊥平面BCD=DE, ∴AH⊥平面BCD,∴AH⊥BC,又AD⊥BC, ∴BC⊥平面ADE,BC⊥AE, ∵AE=345,AD=1,∴DE=135. 10.解 如图所示,连接AC与BD交于O,显然球心O在正棱锥P-ABCD的高PO上, 因为球O的半径为54,所以OD=OP=54, 又因为底面ABCD的边长为2, 所以BD=2+2=2,OD=12BD=1, 在△OOD中,由勾股定理得OO=OD2-OD2=(54)2-12=34, 所以OP=OP+OO=54+34=2, 设点A到平面PBC的距离为h,则由VA-PBC=VP-ABC,可得: 13122(5)2-(22)2h=1312(2)22,解得h=43. 11.(1)解 ∵D,E分别是AB,BC边的中点, ∴DE􀱀12AC,DE⊥BC,DE=1. 依题意,DE⊥EF,BE=EF=2, ∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF, ∵DE⫋平面ACED, ∴平面ACED⊥平面CEF. 作FM⊥EC于M, 则FM⊥平面ACED, ∵∠CEF=60,∴FM=3, 梯形ACED的面积S=12(AC+ED)EC=12(1+2)2=3. 四棱锥F-ADEC的体积V=13Sh=1333=3. (2)证明 (法一)如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ􀱀AC, ∴NQ􀱀DE,四边形DEQN是平行四边形,DN∥EQ. ∵EC=EF,∠CEF=60, ∴△CEF是等边三角形,EQ⊥FC, 又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ, ∴AC⊥EQ, ∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF, ∴DN⊥平面ACF, 又DN⫋平面ADF, ∴平面ADF⊥平面ACF. (法二)连接BF, ∵EC=EF,∠CEF=60, ∴△CEF是边长为2等边三角形. ∵BE=EF, ∴∠EBF=12∠CEF=30, ∴∠BFC=90,BF⊥FC. ∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面BCF. ∵BF⫋平面BCF,∴AC⊥BF, 又FC∩AC=C, ∴BF⊥平面ACF,又BF⫋平面ADF, ∴平面ADF⊥平面ACF. 12.(1)解 ∵PA⊥底面ABCD, ∴PA为此四棱锥底面上的高. ∴V四棱锥P-ABCD=13S正方形ABCDPA=13122=23. (2)证明 连接AC交BD于点O,连接OE. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AO=OC. 又AE=EP,∴OE∥PC. 又PC⊈平面BDE,OE⫋平面BDE, ∴PC∥平面BDE. (3)解 不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE. 证明如下:∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD. 又PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC. ∵CE⫋平面PAC,∴BD⊥CE. 13.(1)证明 连接AC交BD于点O,连接OF. ∵四边形ABCD是矩形, ∴O为AC的中点. 又F为EC的中点,∴OF∥AE. 又OF⫋平面BDF, AE⊈平面BDF, ∴AE∥平面BDF. (2)解 当点P为AE的中点时,有PM⊥BE,证明如下: 取BE的中点H,连接DP,PH,CH. ∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB. 又AB∥CD,∴PH∥CD, ∴P,H,C,D四点共面. ∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC, CD⫋平面ABCD,∴CD⊥平面BCE. 又BE⫋平面BCE,∴CD⊥BE, ∵BC=CE,且H为BE的中点, ∴CH⊥BE. 又CH∩CD=C,且CH,CD⫋平面DPHC, ∴BE⊥平面DPHC. 又PM⫋平面DPHC,∴PM⊥BE.