福建省2019年中考数学总复习 第四单元 三角形 课时训练21 直角三角形及勾股定理练习.doc

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课时训练21 直角三角形及勾股定理 限时：30分钟 夯实基础 1．下列各组数据中三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(　　) A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，7，8 D．2，3，4 2．如图K21－1，△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，AB＝12，则BC＝(　　) 图K21－1 A．6 B．62 C．63 D．12 3．如图K21－2，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(　　) 图K21－2 A．2 B．22 C．2＋1 D．22＋1 4．[xx扬州]如图K21－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是(　　) 图K21－3 A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC 5．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45”时，应先假设(　　) A．∠A＞45，∠B＞45 B．∠A≥45，∠B≥45 C．∠A＜45，∠B＜45 D．∠A≤45，∠B≤45 6．[xx徐州]如图K21－4，Rt△ABC中，∠ABC＝90，D为AC的中点，若∠C＝55，则∠ABD＝　　　　． 图K21－4 7．[xx黄冈]如图K21－5，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　　　　 cm(杯壁厚度不计)． 图K21－5 8．[xx淮安]如图K21－6，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝5，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　　　　． 图K21－6 9．[xx荆门]如图K21－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠BAC＝30，E为AB边的中点，以BE为边作等边三角形BDE，连接AD，CD． (1)求证：△ADE≌△CDB； (2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值． 图K21－7 能力提升 10．[xx东营]如图K21－8，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC的内部，∠DAE＝∠BAC＝90，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2． 其中正确的是(　　) 图K21－8 A．①②③④ B．②④ C．①②④ D．①③④ 11．如图K21－9，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝46，则FD的长为(　　) 图K21－9 A．2 B．4 C．6 D．23 12．[xx铜仁]在直角三角形ABC中，∠ACB＝90，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝23，则AB＝　　　　． 图K21－10 13．[xx齐齐哈尔]如图K21－11，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点． (1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长． 图K21－11 拓展练习 14．[xx十堰]如图K21－12，Rt△ABC中，∠BAC＝90，AB＝3，AC＝62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为　　　　． 图K21－12 15．已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点． (1)如图K21－13①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　　　　，QE与QF的数量关系是　　　　． (2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明． (3)如图③，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 图K21－13 参考答案 1．B　 2．A　 3．B 4．C　[解析] 根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合 ∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE． ∵∠ACB＝90，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90，∠ACD＋∠A＝90，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE． 又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选C． 5．A　 6．35 7．20　[解析] 如图，点E与点A关于直线l对称，连接EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点B作BC⊥AE于点C，则Rt△EBC中，BC＝322＝16(cm)，EC＝3＋14－5＝12(cm)，所以EB＝EC2＋BC2＝20(cm)． 8．1．6　[解析] 连接AD， 由作法可知AD＝BD，在Rt△ACD中，AC＝3，设CD＝x，则AD＝BD＝5－x， 由勾股定理，得CD2＋AC2＝AD2，即x2＋32＝(5－x)2，解得x＝1．6． 故答案为1．6． 9．解：(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30，E为AB边的中点，∴BC＝EA，∠ABC＝60． ∵△DEB为等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60， ∴∠DEA＝120，∠DBC＝120，∴∠DEA＝∠DBC，∴△ADE≌△CDB． (2)如图，作点E关于直线AC的对称点E，连接BE交AC于点H．则点H即为符合条件的点． 由作图可知：EH＋BH＝BE，AE＝AE，∠EAC＝∠BAC＝30， ∴∠EAE＝60，∴△EAE为等边三角形，∴EE＝EA＝12AB，∴∠AEB＝90． 在Rt△ABC中，∠BAC＝30，BC＝3，∴AB＝23，AE＝AE＝3， ∴BE＝AB2－AE2＝(23)2－(3)2＝3， ∴BH＋EH的最小值为3． 10．A　[解析] ∵∠DAE＝∠BAC＝90，AB＝AC， ∴∠DAE＋∠EAB＝∠CAB＋∠EAB，∠ABC＝∠ACB＝45，即∠DAB＝∠EAC． ∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，故①正确． ∴∠ABD＋∠ECB＝∠ACE＋∠ECB＝∠ACB＝45，故②正确． ∵∠ABC＝45，∴在△EBC中，∠EBA＋∠ABC＋∠ECB＝90， ∴∠BEC＝90，即BD⊥CE，故③正确． 在Rt△BEC中，BE2＝BC2－CE2， 在Rt△DEC中，CE2＝DC2－DE2， ∴BE2＝BC2－CE2＝BC2－(DC2－DE2)＝BC2＋DE2－DC2． ∵Rt△ABC与Rt△ADE都是等腰直角三角形， ∴BC2＝2AB2，DE2＝2AD2， ∴BE2＝2AD2＋2AB2－DC2＝2(AD2＋AB2)－DC2，故④正确． 故选A． 11．B 12．4　[解析] 根据CE垂直平分AD，得AC＝CD，再根据等腰三角形的三线合一得∠ACE＝∠ECD，结合角平分线定义和∠ACB＝90，得∠ACE＝∠ECD＝∠BCD＝30，所以∠ACD＝∠ADC＝∠A＝60，∠B＝∠BCD＝30，在Rt△ACB中，∠B＝30，BC＝23，∴AB＝4． 13．解：(1)证明：∵AD⊥BC于D，∴∠BDG＝∠ADC＝90， ∵BD＝AD，DG＝DC，∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC． ∵AD⊥BC于D，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝12BG，DF＝12AC，∴DE＝DF． ∵DE＝DF，BD＝AD，BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SSS)，∴∠BDE＝∠ADF， ∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90， ∴DE⊥DF． (2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝12AC＝1210＝5． ∵∠EDF＝90，∴EF＝DE2＋DF2＝52＋52＝52． 14．163　[解析] 如图，作A关于BC的对称点A，连接AA，交BC于F，过A作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD＝AD，此时AD＋DE的值最小，就是AE的长． Rt△ABC中，∠BAC＝90，AB＝3，AC＝62，∴BC＝32＋(62)2＝9， S△ABC＝12ABAC＝12BCAF，∴362＝9AF，解得AF＝22，∴AA＝2AF＝42， ∵∠AFD＝∠DEC＝90，∠ADF＝∠CDE，∴∠A＝∠C， ∵∠AEA＝∠BAC＝90，∴△AEA∽△BAC，∴AAAE＝BCAC，即42AE＝962， ∴AE＝163，即AD＋DE的最小值是163． 故答案为163． 15．解：(1)AE∥BF　QE＝QF (2)QE＝QF． 证明：如图①，延长FQ交AE于点D． ∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1＝∠2． ∵∠3＝∠4，AQ＝BQ，∴△AQD≌△BQF，∴QD＝QF． ∵AE⊥CP，∴QE为斜边FD的中线，∴QE＝12FD＝QF． (3)此时(2)中结论仍然成立． 理由：如图②，延长EQ，FB交于点D． ∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1＝∠D． ∵∠2＝∠3，AQ＝BQ，∴△AQE≌△BQD，∴QE＝QD． ∵BF⊥CP，∴FQ为斜边DE的中线．∴QF＝12DE＝QE．