广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三数学5月联合模拟试题 理（含解析）.doc

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广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合模拟理科数学 一、选择题：共12题 1．若集合A={x|y=x12}，B={x|y=ln(x+1)}，则A∩B= A.[0,+∞) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1) 【答案】A 【解析】本题主要考查集合的基本运算、对数函数.A=xy=x12={x|x≥0}，B=xy=lnx+1={x|x>-1}，则A∩B={x|x≥0}. 2．下面是关于复数z=2-i的四个命题：p1：|z|=5；p2：z2=3-4i；p3：z的共轭复数为-2+i；p4：z的虚部为-1，其中真命题为 A.p2，p3 B.p1，p2 C.p2，p4 D.p3，p4 【答案】C 【解析】本题主要考查复数的共轭复数、模、四则运算、命题真假的判断.因为z=2-i，所以|z|=5，则p1是假命题；又z2=(2-i)2=3-4i,故p2是真命题；z=2-i的共轭复数为2+i，故p3是假命题，因此排除A、B、D，则答案为C. 3．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为线段BC上的点，则AE⋅DE的最小值为 A.12 B.15 C.17 D.16 【答案】B 【解析】本题主要考查平面向量的数量积、函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化思想.设BE=tBC(0≤t≤1),则AE=AB+BE=AB+tBC，DE=DC+CE=AB-(1-t)BC,且AB⋅BC=0,则AE⋅DE=4t2-4t+16=4(t-12)2+15,由二次函数的性质可知，当t=12时，AE⋅DE取得最小值15. 4．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是 ①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长； ③去年同期的GDP总量前三位是江苏、山东、浙江； ④2016年同期浙江的GDP总量也是第三位. A.①② B.②③④ C.②④ D.①③④ 【答案】B 【解析】本题主要考查由样本数据估计总体数据、统计图，考查了分析问题与解决问题的能力. ①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，江苏与河南，分别居第一位与第四位，故①错误；②由图知，②正确；③由图计算2016年第一季度同期五省的GDP总量，前三位是江苏、山东、浙江，故③正确；④由图计算2016年同期五省的GDP总量，浙江的GDP总量也是第三位，故④正确，故答案为B. 5．若函数f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为1，则ω= A.14 B.13 C.12 D.32 【答案】C 【解析】本题主要考查三角函数的单调性，考查了逻辑推理能力.因为x∈[0,π3],所以ωx∈[0,ωπ3]，又因为函数f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为1，所以ωπ3=π6，则ω=12 6．若a=log1π13，b=eπ3，c=log3cos15π，则 A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b 【答案】B 【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质,考查了函数的基本性质的应用.因为a=log1π13=logπ3∈(0,1),b=eπ3>1,c=log3cos15π<0,所以b>a>c 7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B= A.15 B.29 C.31 D.63 【答案】D 【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：A=1,B=3;B=7,A=2;B=15,A=3;B=31,A=4;B=63,A=5,此时不满足条件,循环结束,输出B=63 8．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，b=3，A=30，B为锐角，那么角A:B:C的比值为 A.1:1:3 B.1:2:3 C.1:3:2 D.1:4:1 【答案】B 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了计算能力.因为a=1，b=3，A=30，B为锐角，所以由正弦定理可得sinB=bsinAa=32,则B=60，所以C=90，则A:B:C=1:2:3 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A.20+45 B.12+45 C.20+25 D.12+25 【答案】A 【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是一个底面直角边长分别为2、4的直角三角形、高是2的直三棱柱，所以该几何体的表面积S=21224+22+4+25=20+45 10．在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔBAC与ΔBCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30的角，则线段PA的长度的取值范围是 A.(0,22) B.(0,63) C.22,2 D.(63,2) 【答案】B 【解析】本题主要考查异面直线所成的角、空间向量、线面与面面垂直，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.设BC的中点为O,连接OA,因为∠BAC=90，BC=2，所以OA=1，故建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则O(0,0,0),A(0,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),P(s,0,t),Q(1,m,0)(s<0,t>0,m>0),则PQ=(1-s,m,-t),AC=(1,0,-1),PA=(-s,0,1-t)，所以PQAC=1-s+t,|PQ|=(1-s)2+m2+t2,AC=2,所以(1-s)2+m2+t22cos30=1-s+t，即3m2=4t1-s-1-s2-t2>0,结合t-s=1可得41-s2>2+2s2,则s<13，则PQ=1-t2+s2=2s<63,故答案为B. 11．设P为双曲线x2-y215=1右支上一点，M，N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点，设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则m-n= A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】本题主要考查双曲线与圆的性质，考查了逻辑推理能力.双曲线的焦点分别两个圆的圆心E-4,0,F(4,0),圆E的半径为2，圆F的半径为1，则|PM|的最大值为PE+2,最小值为PE-2,|PN|的最大值为PF+1,最小值为PF-1，又PE-PF=2,所以|PM|-|PN|的最大值为PE+2-PF-1=PE-PF+3=m,|PM|-|PN|的最小值为PE-2-PF+1=PE-PF-3=n, 则m-n=6 12．ab表示一个两位数，十位数和个位数分别用a，b表示，记f(ab)=a+b+3ab，如f(12)=1+2+312=9，则满足f(ab)=ab的两位数的个数为 A.15 B.13 C.9 D.7 【答案】C 【解析】本题主要考查新定义问题、归纳推理，考查了逻辑推理能力.由题意可知，若fab=a+b+3ab=ab=10a+b，即ab=3a，因为a≠0，所以b=3，当a分别取1,2,3,4,5,6,7,8,9时，满足f(ab)=ab成立，因此满足f(ab)=ab的两位数的个数为9. 二、填空题：共4题 13．已知实数x，y满足不等式组1≤x+y≤2,-1≤x-y≤1,则z=y+1x+1的最大值是. 【答案】2 【解析】本题主要考查线性规划问题、直线的斜率公式，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，z=y+1x+1表示过点P(-1,-1)与平面区域内任一点的直线l的斜率，当直线过点A(0,1)时，z=y+1x+1取得最大值2. 14．已知sinθ+cosθ=15，θ∈(π2,π)，则tanθ=. 【答案】-43 【解析】本题主要考查同角三角函数关系式,考查了逻辑推理能力.因为θ∈(π2,π),所以sinθ>0,cosθ<0,将sinθ+cosθ=15两边平方化简可得2sinθcosθ=-2425,则sinθ-cosθ=1-2sinθcosθ=75,则sinθ=45,cosθ=-35,所以tanθ=-43 15．直线x=a分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，则|AB|的最小值为. 【答案】2 【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了逻辑推理能力.根据题意,要求|AB|的最小值,即求函数fx=2x+1-x+lnx=x+1-lnx在(0,+∞)上的最小值,fx=1-1x,则易知函数fx在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以|AB|的最小值,即函数fx的最小值为f1=2 16．设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为d.当d最小时，圆C的面积为. 【答案】2π 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了逻辑推理能力与计算能力.设圆的半径为r,圆心(a,b),由②可知短弧所对的圆心角为90,则圆心不在x轴上,设b>0,则r=2b,由①截y轴所得弦长为2可得a2+1=r2,则a2=2b2-1,又d=|a-2b|5=a2-4ab+4b25≥a2-2a2+b2+4b25=15,当且仅当a=b=1时,d取得最小值,此时r=2,则圆的面积为2π. 三、解答题：共7题 17．已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列，设{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设数列{Snn⋅2n}的前n项和为Tn，求证：Tn<3. 【答案】(Ⅰ)根据题意，等差数列{an}中，设公差为d，a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列，a1>0， 即a1+3d=2(a1+d),a1⋅(a1+3d)=16,解得a1=2，d=2， 所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知a1=d=2，则Sn=2n+n(n-1)22=n2+n， ∴bn=Snn⋅2n=n+12n. ∴Tn=221+322+423+…+n+12n，(*) 12Tn=222+323+…+n2n+n+12n+1，(**) ∴12Tn=221+122+123+…+12n-n+12n+1， ∴Tn=2+121+122+…+12n-1-n+12n=2+12(1-12n-1)1-12-n+12n=3-12n-1-n+12n<3. ∴Tn<3. 【解析】本题主要考查等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,考查了错位相减法,逻辑推理能力与计算能力.(1) 根据题意，等差数列{an}中，设公差为d，则有a1+3d=2(a1+d)a1⋅(a1+3d)=16,求解易得结论;(2)求出{an}的前n项和为Sn,则bn=n+12n,利用错位相减法,再结合等比数列的前n项和公式求解,易得结论. 18．某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y(单位：万件)之间的关系如表： (Ⅰ)在图中画出表中数据的散点图； (Ⅱ)根据(Ⅰ)中的散点图拟合y与x的回归模型，并用相关系数甲乙说明； (Ⅲ)建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？. 附注：参考数据：i=14(yi-y)2≈32.6，5≈2.24，i=14xiyi=418. 参考公式：相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2， 回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx. 【答案】(Ⅰ)作出散点图如图： (Ⅱ)由(Ⅰ)散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得： x=52，y=692，i=14xiyi=418，i=14(yi-y)2≈32.6，i=14xi2=30，i=14(xi-x)(yi-y)=i=14xiyi-xi=14yi=418-52138=73，i=14(xi-x)2=i=14xi2-nx2=30-4(52)2=5≈2.24， r=i=14(xi-x)(yi-y)i=14(xi-x)2i=14(yi-y)2=732.2432.6≈0.9996. ∵y与x的相关系数近似为0.9996，说明y与x的线性相关程度相当大， ∴可以用线性回归模型拟合y与x的关系. (Ⅲ)由(Ⅱ)知：x=52，y=692，i=14xiyi=418，i=14x2=30，i=14(xi-x)2=5， b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=735，a=y-bx=692-73552=-2， 故y关于x的回归直线方程为y=735x-2， 当x=5时，y=7355-2=71， 所以第5年的销售量约为71万件. 【解析】本题主要考查回归分析及其应用,考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据所给数据易得散点图;(2)利用所提供的数据与公式求出y与x的相关系数r,即可得出结论;(3)由题中所提供的数据,分别求出b,a的值,则可得回归直线方程,再将x=5代入回归直线方程可得结论. 19．如图，在正三棱柱ABC-A 1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB. (Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面ACC1A1； (Ⅱ)若AB=EC=2，求二面角C-AF-E的余弦值. 【答案】(Ⅰ)证明： 取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，则MG=12EC=BF， 又MG//EC//BF， ∴MBFG是平行四边形，故MB//FG. ∵MB⊥AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC， ∴MB⊥平面ACC1A1，而BM//FG， ∴FG⊥平面ACC1A1， ∵FG⊂平面AEF， ∴平面AEF⊥平面ACC1A1. (Ⅱ)以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M-xyz，则A(1,0,0)，C(-1,0,0)，E(-1,0,2)，F(0,3,1)，AC=(-2,0,0)，AF=(-1,3,1)，AE=(-2,0,2)， 设平面ACF的一个法向量m=(x1,y1,z1)， 则有m⋅AC=0,m⋅AF=0,即-2x1=0,-x1+3y1+z1=0, 令y1=1，则m=(0,1,-3)， 设平面AEF的一个法向量n=(x2,y2,z2)， 则有n⋅AE=0,n⋅AF=0,即-2x2+2z2=0,-x2+3y2+z2=0, 令x2=1，则n=(1,0,1)， 设二面角C-AF-E的平面角θ， 则cosθ=|cos|=|m⋅n||m|⋅|n|=|-3|22=64. 【解析】本题主要考查线面,面面垂直的判定与性质,二面角,空间向量的应用,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1) 取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，证明四边形MBFG是平行四边形，再证明MB⊥平面ACC1A1,则结论易得;(2) 以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M-xyz，求出平面ACF的一个法向量m, 平面AEF的一个法向量n, 设二面角C-AF-E的平面角θ，利用向量的夹角公式cosθ=|cos|=|m⋅n||m|⋅|n|求解即可. 20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e<22.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为23. (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)若点P(x0,y0)为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x+4y0y-12=0，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点. 【答案】(Ⅰ)依题意，设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c， 由题设条件知，4a=8，a=2， 2122cb=23，b2+c2=a2=4， 所以b=3，c=1，或b=1，c=3(经检验不合题意舍去)， 故椭圆C的方程为x24+y23=1. (Ⅱ)当y0=0时，由x024+y023=1，可得x0=2， 当x0=2，y0=0时，直线l的方程为x=2，直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0). 当x0=-2，y0=0时，直线l的方程为x=-2，直线l与曲线C有且只有一个交点(-2,0). 当y0≠0时，直线l的方程为y=12-3x0x4y0，联立方程组y=12-3x0x4y0,x24+y23=1. 消去y，得(4y02+3x02)x2-24x0x+48-16y02=0.① 由点P(x0,y0)为曲线C上一点，得x024+y023=1，可得4y02+3x02=12. 于是方程①可以化简为x2-2x0x+x02=0，解得x=x0， 将x=x0代入方程y=12-3x0x4y0可得y=y0，故直线l与曲线C有且有一个交点P(x0,y0)， 综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x0,y0). 【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质,直线与圆锥曲线的位置关系,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1) 由题设条件知，4a=82122cb=23，且e<22,求解可得结论;(2)先讨论y0=0,即点P是椭圆的左右顶点,易得结论;再讨论y0≠0, 直线l的方程为y=12-3x0x4y0，联立椭圆方程,结合点P在椭圆上,化简可得x2-2x0x+x02=0,则结合易得. 21．设函数f(x)=mlnx+nx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1. (Ⅰ)求实数m，n的值； (Ⅱ)若b>a>1，A=f(a+b2)，B=f(a)+f(b)2，C=bf(b)-af(a)b-a-1，试判断A，B，C三者是否有确定的大小关系，并说明理由. 【答案】(Ⅰ)f(x)=mx-nx2. 由于f(1)=n=0,f(1)=m-n=1,所以m=1，n=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=lnx. (i)A-B=lna+b2-lna+lnb2=lna+b2ab≥1=0, 而a≠b，故A>B. (ii)A-C=lna+b2-(blnb-alnab-a-1)=1b-a[(b-a)lna+b2-blnb+alna+b-a]. 设函数g(x)=(x-a)lnx+a2-xlnx+alna+x-a，x∈(0,+∞)， 则g(x)=lnx+a2x+x-ax+a，g(x)=a(x-a)x(x+a)2. 当x>a时，g(x)>0，所以g(x)在(a,+∞)上单调递增； 又g(x)>g(a)=0，因此g(x)在(a,+∞)上单调递增. 又b>a，所以g(b)>g(a)=0，即A-C>0，即A>C. (iii)C-B=blnb-alnab-a-1-lna+lnb2=1b-a(a+b2lnb-a+b2lna+a-b). 设h(x)=x+a2lnx-x+a2lna-x+a，x∈(0,+∞). 则h(x)=12lnx+a2x-12lna-12，有h(x)=x-a2x2. 当x>a时，h(x)>0，所以h(x)在(a,+∞)上单调递增，有h(x)>h(a)=0. 所以h(x)在(a,+∞)上单调递增. 又b>a，所以h(b)>h(a)=0，即C-B>0，故C>B. 综上可知：A>C>B. 【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义,函数的性质,基本不等式,考查了函数的构造,考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意可得f(1)=0f(1)=1,求解可得结论;(2) 由(Ⅰ)知f(x)=lnx,(i)A-B=lna+b2-lna+lnb2,利用对数的运算性质与基本不等式求解可得结论; (ii)A-C=1b-a[(b-a)lna+b2-blnb+alna+b-a], 设函数g(x)=(x-a)lnx+a2-xlnx+alna+x-a，x∈(0,+∞)，求导并判断函数的单调性,易得结论; (iii)C-B=1b-a(a+b2lnb-a+b2lna+a-b), 设h(x)=x+a2lnx-x+a2lna-x+a，x∈(0,+∞),同理求解即可. 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosα,y=3sinα(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=3. (Ⅰ)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； (Ⅱ)设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值. 【答案】(Ⅰ)因为直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=3， 即ρ(12cosθ-32sinθ)=3，即x-3y-23=0. 曲线C的参数方程为x=3cosαy=3sinα(α是参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α， 可得x29+y23=1. (Ⅱ)设点P(3cosα,3sinα)为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离 d=|3cosα-3sinα-23|2=|32cos(α+π4)-23|2， 故当cos(α+π4)=-1时，d取最大值为32+232. 【解析】本题主要考查参数方程与极坐标,考查了参直与极直互化,点到直线的距离公式,三角函数.(1)消去参数α可得曲线C的普通方程;将直线l的极坐标方程展开,再利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ化简可得直线l的直角坐标方程;(2) 设点P(3cosα,3sinα)为曲线C上任意一点，利用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离d=|3cosα-3sinα-23|2,结合三角函数的性质求解即可. 23．已知函数f(x)=|x-a|+12a(a≠0). (Ⅰ)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立，求实数m的最大值； (Ⅱ)当a<12时，函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点，求实数a的取值范围. 【答案】(Ⅰ)f(x+m)=|x+m-a|+12a. ∵f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤|m|， ∴f(x)-f(x+m)≤1恒成立当且仅当|m|≤1， ∴-1≤m≤1，即实数m的最大值为1. (Ⅱ)当a<12时，g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+12a=-3x+a+12a+1,x12. ∴g(x)min=g(12)=12-a+12a=-2a2+a+12a≤0， ∴012三种情况讨论去绝对值,求出函数g(x)min,解不等式g(x)min≤0,即可求出结果.